【内容提要】
本书是根据苏联国立技术理论书籍出版社于1953年出版的甘特马赫尔所著的《矩阵论》来译出的，本书分上、下两册，上册为原书第一部分：矩阵的理论基础，包括第1至10章.分别为矩阵及其运算，高斯算法及其一些应用，n维向量空间中线性算子，矩阵的特征多项式与最小多项式，矩阵函数，多项式矩阵的等价变换.初等因子的解析理论，n维空间中线性算子的结构，矩阵方程，U-空间中线性算子，二次型与埃尔米特型.
本书可供高等院校本科生、研究生、数学及物理科学研究人员和工程师参考之用.
【书 缘】
从柯召先生译著《矩阵论》谈起
白苏华（四川大学数学学院）
很高兴哈尔滨工业大学出版社将再版柯召先生的译著《矩阵论》.
时光荏苒，岁月蹉跎.柯老已然作古，我们这批当时的青年学子，也都年逾古稀，垂垂老矣.我有幸撰写过《柯召传》一书，比较留心他的史料，不免思绪绵绵，联想到柯老的几桩往事，愿借此机会向读者谈谈.
前苏联数学家甘特马赫尔的《矩阵论》是一部数学名著，1953年问世，很快就被译成德文、英文、法文与中文出版.柯老的中译本出版于1955年，是该书最早的译本之一.
回顾20世纪50年代初，随着社会大变革，我国的高等教育也来了个大的转向，全面学习苏联.所以，欧美的教材与体系都弃之不用.而国人编写的大学教材少之又少，各大学数学系有条件的可自编讲义，大多则采用苏联的数学教材.困难之处在于：当时连懂得俄语的教师都不多，大学生更没法阅读俄语原文数学教材.因此，迫切需要将它们翻译成中文出版.在这方面，柯老做了一件很有意义的工作，他精选并翻译出版了三部苏联数学教材：线性代数基础（马力茨夫著，上海，商务印书馆，1953）、高等代数教程（库洛什著，北京，高等教育出版社，1955）、矩阵论（甘特马赫尔著，北京，高等教育出版社，1955）.
柯老的工作很忙，为了能及时完成译书工作，他请人先把俄文原文抄写在笔记本上，每两行原文之间都留下足够的空白，自己则在空白处把译文添上.译文配好后，由他的夫人和女儿帮着抄写，他再修改润色完成译稿.这是柯老独创的十分有效的工作方法.
诚然，苏联的教材未必都好.但柯老选译的这三部书，却是当时苏联最好的代数类大学教材，它至少在代数类教学领域避免了国内大学因缺乏合适教材带来的不便.柯老是既有眼力选书也有能力译书的学者，他1935年留学英国时就学过俄语，又是精通这一领域的专家，自然有能力选译出好的苏联数学教材，介绍给国内的大学使用.
这三部书在国内的影响很大.它们是大学数学系代数类课程的主要教材，被当时全国各大专院校普遍采用.许多人(包括我本人)，当年就是从读这几本书开始入门的.
柯老与数学教材的渊源颇深.1963年，他受聘担任教育部数学教材编审委员会委员.按教育部的安排，他负责拟定全国统编教材《高等代数》的教学大纲，供编写学校（北京大学）参考.他还担任过多种数学丛书和数学刊物的主编或编委.另一方面，柯老自己也参与数学教材的编写工作.他和孙琦合编的《数论讲义》（上、下），由高等教育出版社出版（1986, 1987）.
柯老翻译及撰写过十余部数学著作，他自己编写而未出版的教材也不少.从数论组合论的教材与专著到优选法等科普著作，以及为工农兵学员补课的初等数学讲义等等，其中有不少精品.1991年，《数论讲义》获国家教委优秀教材二等奖.2010年，科学出版社将他和魏万迪合著的《组合论》（上册）列入“中国科学技术经典文库”再版；2011年，哈尔滨工业大学出版社将他和孙琦合著的《谈谈不定方程》与《初等数论100例》列入“中国数论名家著作系列”再版.这次哈尔滨工业大学出版社再版的《矩阵论》则是柯老译著中的精品.
柯老酷爱数学，他曾经说过，读数学书“比看小说还有趣.”他与数学书籍有着不解之缘.这里，我再谈谈他与书籍之间的一些缘分吧.
一．与商务印书馆的一件往事
老一辈的科教界学人都知道，商务印书馆曾经是中国民族出版业最著名的出版机构.极盛时期，所出书刊占全国半壁江山以上.抗日战争时期，它在非常困难的情况下，仍然尽力地出版大、中、小学等各类教科书.
1938年柯老回国不久，缺少外汇的商务印书馆便找上门来，跟他商议以国内货币(法币)兑换他在英国时从生活费中节省下来的外币, 以用于向国外购买纸张印刷教科书.其实，对于商务印书馆的困难来说，柯老手里那点外币不过是杯水车薪而已，但他很爽快地答应了，可谓倾囊相助.因为柯老深知：支持的人多了，便可集腋成裘，成事有望.其实，柯老手边并不宽裕，法币贬值很快(有文献称：1937年可买两头黄牛的法币，1938年能买一头黄牛，再过四年就只能买一只鸡了)，换出外币是件很吃亏的事.后来他回忆到这件事的时候，却自感欣慰，“别人也会这样做的”.
1953年，柯老翻译的《线性代数基础》是由商务印书馆出版的.1954年商务印书馆并入高等教育出版社后，《高等代数教程》和《矩阵论》于1955年改由高等教育出版社出版，却也有商务印书馆的背景.
二．与外文书店的书缘
柯老最有兴趣的一个习惯就是逛书店.他是成都外文书店的常客,他对数学新书的兴趣几近痴迷，堪称书痴.有两个小故事就是他逛外文书店时发生的.
第一个故事算名人轶事吧.在20世纪50,60年代，成都市市区的范围不大，四川大学位于市区外东九眼桥一带的郊区，周边还间杂着片片农田.虽然安静，但大一点的新华书店和外文书店都在城内，交通却不大方便.柯老的生活很有规律，星期日如果有空，他就和夫人与女儿一起到城里的春熙路去，那是成都的商业区，四川最大的外文书店也在那里.夫人与女儿去商店购物，自己就去逛外文书店.有一次，大家约好中午12点钟到附近一个餐馆午餐，可是夫人和女儿等到下午1点钟以后，柯老还没有来.原来他在外文书店的楼上看书入了迷，午餐的事，早已忘到九霄云外.
另一个故事却有点苦涩了.1974年夏天，柯老计划为国防科技部门在川大的培训班开设一门新的数学课《组合论》.那时，近代组合论还是一门新兴学科，没有现成的教材，必须自己编写.一天，他从外文书店购书出来后，脑子里一边想着问题一边信步而行，没有注意到一辆自行车迎面而来，将他撞翻在地.附近有一家医院，但柯老无暇他顾，只想到要赶快回去工作.文革时期，电车和公共汽车都不正常，时有时无，更没有出租车，他只好一步一步硬撑着慢慢走回家中.可是回家以后就发现伤得不轻，疼痛难忍.为了按时写完这份讲义，他没有上医院，只是请人到家里来给他上药治疗.就这样忍着疼痛坚持工作了整整一个月，终于在病榻上完成了这份《组合论》讲义.后来人们才发现，这份讲义也许是国内最早的一份讲述近代组合论的教材.
三．清理图书的收获
文革前期，什么业务工作都不能做.到了1971年，开始有了点松动.这年10月前后，我和柯老、蒲保明等几位老先生一起被安排去清理川大数学系的图书.没有他人的过问，又可翻翻书，那倒是一份相对好过的美差.工作时，我们交谈的话题多半是评论一下翻到的书中哪些书是好书，哪些书不怎么样.休息时候，闲聊的次数多了，也就渐渐随便起来，老先生们偶尔还谈及他们留学时的见闻.有一次我们曾谈到一个观点：只要有一套好的教材和教学计划，完全可以通过自学来完成数学系学业.这其实是针对当时大学里教学秩序混乱且耽误学习的时间太多而谈的，却还不便明言.后来我还向朋友谈过这个看法.
特别令人高兴的是整理那些文革前订购，到达后尚未编目的书.那是我们没有见过的新书，从中不时可发现一些自己感兴趣的书.那自然是近水楼台，我们就带回家去看了.
柯老在清理图书时带回家的书中，有两本书特别值得一提，那就是瑞塞尔（H.J.Ryser）的专著《组合数学》和赫尔（Hall）的专著《组合论》，它们是国际上面世最早的、最有影响的两部组合数学专著.柯老研读这两本专著的认真程度，也是值得后人学习的.他在研读瑞塞尔的《组合数学》时，写下了长达271页的读书笔记.而柯老1974年完成的《组合论》讲义，则是以赫尔的专著为蓝本编译而成的.
再回来谈谈柯召先生的译著《矩阵论》.
在五六十年前，《高等代数》和《线性代数》是数学系的基础课，而《矩阵论》是专门组课，相当于现在的选修课或者研究生课，主要供数学工作者学习使用.那时，我国才刚刚开始着手发展计算数学，矩阵论是计算数学的必备知识.以后，随着电子技术和计算机科学的快速发展，矩阵论为众多科学技术领域提供了数学理论支撑.这些话本是常识，无需赘言.我想说的是：柯老当年将《矩阵论》这部名著介绍到国内来，无疑是很有前瞻性的.
事实上，柯老自己也是研究矩阵论的行家.他的学术论文中，有相当一部分就是矩阵代数方面的研究成果.他还为国防应用数学出过力，其中也有与大型矩阵有关的研究任务.
另一方面，柯老的学生中由熟悉矩阵论而成才者也不少.中科院数学所研究员张同是川大1956年毕业生，他回忆说：“1956年春天开始写学士论文，柯老师给了我一个矩阵论的题目，我很快就做出来了.老师很高兴，毕业前夕，与我联名在《川大学报》上发表了那个结果.我想，也许就是由于这篇论文，毕业后我被分配到科学院数学所工作.……到数学所后，我选择了研究偏微分方程.我的第一篇研究偏微分方程的论文所用的数学工具，正好就是矩阵.这篇论文帮助我顺利地走上数学研究之路.”后来，张同成为一位优秀的微分方程专家.
时至今日，国内已有多种矩阵论的教材供大学生和研究人员学习.但是正如本书第4版编者序及对甘特马赫尔的介绍中所说：“虽然矩阵论的剧烈发展与最近几十年关于矩阵论基础和专门方向有许多新名著问世，但是甘特马赫尔的专著迄今没有失去其卓越的作用.……在50多年中本书并没有失去现实意义，它仍然是数学这个领域中最为普及与深受欢迎的参考书.”所以，将这本著名的数学译著介绍给读者，无疑是很有意义的.
岁月不掩当年事，佳作有缘伴书痴.我相信，更多的读者会从这部书中受益的.
【第1版作者序】
在近代，矩阵的研究在数学、力学、理论物理、理论电工技术等等的各种领域中有广泛的应用.同时在苏联和在外国文献中，都没有充分剖释矩阵论问题及其各种应用的书籍.这一本书是企图填补数学文献中这一个空白的.
这本书所根据的，是著者在近17年中，在以姆·维·罗蒙诺索夫命名的莫斯科国立大学，以约·维·斯大林命名的第比利斯国立大学与莫斯科物理技术学院中，先后讲授矩阵论及其应用这一课程的讲义.
本书不仅顾及数学家（大学生、研究生、科学工作者），亦顾及在其邻近的领域中（物理学家、工程研究者）关心数学及其应用的专家.因此著者力图使内容的表达尽可能为读者所易于接受，仅假定读者学过行列式论与高等工业学校教学计划范围内的高等数学这一课程.只是在本书的以后诸章个别的节中对于读者需要补充的数学知识.此外，著者企图使各别章中的叙述尽可能彼此无关.例如，第5章“矩阵函数”并没有依靠第1、第3章中所述的内容.同时在第5章中第一次应用第4章中所引进的概念时有相应的引证.这样一来，已经熟悉矩阵的初等理论的读者，有可能直接开始阅读书中他所关心的诸章.
本书分上、下册，内容共分17章.
在第1与第3章中引进关于矩阵与线性算子的初步的基本知识且建立算子与矩阵间的联系.
在第2章中叙述高斯消去法的理论基础以及与之相结合的
解n较大时含有n个方程线性方程组的有效方法.在这一章中读者将获得分解矩阵为长方“子块”或“块”的运算技术.
在第4章中引进有基本意义的方阵的“特征多项式”与“最小多项式”，矩阵的“伴随矩阵”与“简化伴随矩阵”.
在第5章中所讨论的是矩阵的函数，给予一般的定义与f(A)的实际计算方法，其中f（λ）为纯量变数λ的函数，而A为一个方阵.在这一章的§5,§6中应用矩阵函数的概念来求出并且详细地研究常系数一阶线性微分方程组的解.关于矩阵函数的概念以及与之有关的常系数一阶线性微分方程组的研究，都只应用关于矩阵的最小多项式这一概念（与平常的说法不同），并不用及在以后的第6章与第7章中所述的“初等因子理论”.
前5章包含关于矩阵及其应用的某些知识.矩阵的更深入的问题与化矩阵为范式有关联.这种演化奠基于魏尔斯特拉斯的初等因子理论.由于这一理论的重要性，在本书中给予两种叙述方法：在第6章中的解析方法与在第7章中的几何方法.读者要注意第6章§7,§8中所讨论的求出化已给予矩阵为范式的变换矩阵的有效方法.在第7章§8中详细地讨论了阿·恩·克雷洛夫院士对于实际算出特征多项式系数的方法.
在第8章中解出某些类型的矩阵方程.此处亦曾讨论关于与已知矩阵可交换的全部矩阵问题而且详细的研究了矩阵的多值函数mA,ln A.
第9与第10章分别从事于U-空间中线性算子理论与二次型及埃尔米特型的理论.这两章并未用及魏尔斯特拉斯的初等因子理论，对于以前的东西，只用到本书第1与第3章中所述的关于矩阵与线性算子的基本知识.在第10章的§8中给予二次型在有n个自由度微振动系统研究中的应用.在同一章的§10中给出弗罗贝尼乌斯对于冈恰列夫型理论的细致的研究.这些结果以后在第15章中，对于路斯-胡尔维茨问题中特殊情形的讨论，是要用到的.
最后7章组成本书的下册.在第11章中定出复对称、复反对称与复正交矩阵的范式，而且在这些矩阵，与同类型的实矩阵，与U-矩阵之间建立了有趣味的联系.
在第12章中所述的是A+λB型矩阵束的普遍理论，其中A与B为同维数的任意长方矩阵.有如正则矩阵束A+λB的研究是奠基于魏尔斯特拉斯的初等因子理论，奇异矩阵束的研究有赖于罗涅凯尔的最小指标理论，这是魏尔斯特拉斯初等因子理论的进一步的发展.借助于克罗内克的理论（著者相信，本书中对于这一理论在表达上的简化是很成功的），在第12章中建立了矩阵束A+λB在普遍情形的范式.我们应用所得出的结果来研究常系数线性微分方程组.
在第13章中所述的是非负元素所构成的矩阵的著名的谱性质并且讨论到这类矩阵两种重要的应用范围：（1）在概率论中的纯马尔可夫链与（2）在力学中弹性振动的振荡性质.用矩阵的方法来研究纯马尔可夫链在甫·伊·罗曼诺夫斯基的工作“Вычислительные методы линейной алгебры” 中得到它的发展，这有赖于这样的事实，在有限多状态的纯马尔可夫链中条件概率矩阵是一种特殊类型的，元素都是非负的矩阵（“随机矩阵”）.
弹性振动的振荡性质与另外一类重要的非负矩阵——“振荡矩阵”——是密切联系着的.这些矩阵及其应用曾被蒙·格·克莱茵与本书著者所合作研究过.在第13章中只述及这一领域中一些主要的结果.
在第15章中讨论矩阵论对于有变量系数微分方程组的应用.这一章中所研究的中心问题（§5~§9)是乘法积分的理论及其与沃尔泰拉的关系.在联系数学文献上对于这些问题几乎完全没有给予说明.在前面几节和§11中所研究的是与关于运动的稳定性问题有关的（按照李雅普诺夫的）可化组和恩·叶鲁金的一些结果.§9~§11讲到微分方程组的解析理论.此处剖明了伯克霍夫基本定理的错误，这个定理平常是用来研究微分方程组在奇点领域的解以及在正则奇点这一情形建立解的标准形式的.
在第15章的§12中概略地写出伊·阿·拉波-丹尼列夫斯基对于多个矩阵的解析函数及其应用于微分方程组的基本研究的一些结果.
第16章所讨论的，是应用二次型（特别是冈恰列夫型）理论于关于定出多项式的位于右半平面（Re z＞0）中根的个数的路斯-胡尔维茨问题.在这一章的前几节中引进这个问题的古典的论述.在§5中给予阿·蒙·李雅普诺夫定理，这个定理建立了与路斯-胡尔维茨判定等价的稳定性判定.与路斯-胡尔维茨稳定性判定同时，在这一章的§13中提出不是很著名的列纳尔与希帕尔判定，在这个判定中行列式不等式的个数比路斯-胡尔维茨判定中的个数约少一半.
在第16章的末尾证明了与稳定性问题密切联系的阿·阿·马尔可夫与普·尔·切比雪夫的两个著名定理，这些定理是两位伟大的学者从把某种特殊类型连分式展为变数的降幂级数的展开式理论来得出的.此处还给予这两个定理以矩阵的证明.
在第17章讨论了一些不等式，这些不等式满足n维U-空间中线性算子的特征数与奇异数.
这样我们简略地列举了本书的内容.
最后，在本书准备付印时，达·克·法捷耶夫，甫·普·波达波夫与达·蒙·柯切利亚斯基阅读了本书的原稿且提出许多主要的注释来帮助著者，著者表示衷心的感谢.在写出本书时著者用及蒙·格·克莱因与阿·伊·乌兹可夫的宝贵的意见，著者亦在此向他们表示感谢.
Ф·Р·甘特马赫尔
【第2版作者序】
在矩阵论的现有图书中，费·卢·甘特马赫尔的专著被公认占有最重要的地位之一.这是由于此书的系统性、所研究问题的广泛性与叙述的清晰性.本书第1版于1953~1954年问世，然后被译成德文、英文、法文与中文出版.
在甘特马赫尔一生的最后几年，他用很多时间来修改与扩充本书.所做的改变部分也是涉及书写风格（根据新的惯例，引入一些术语，改进了个别证明等）.但除此之外，还补充了许多新材料，主要在下册.独立的新一章第14章（特征数的各种正则性判定与局部化）致力于求特征数近似值的各种方法.还补充了第5章§5（矩阵函数的某些性质）、第16章§17(胡尔维茨行列式与马尔可夫行列式之间的联系)以及关于伪逆算子与伪逆矩阵的两节（第1章§5,第9章§16）.
众所周知，作者打算在自己的书中包括一系列最新研究的关于矩阵代数中特征值组合分析问题.特别，属于这些问题的有两个矩阵之和与乘积的特征数分布问题，以及著名的魏尔不等式及其推广.在本版中，В·Б·李德斯基撰写了相应的补充内容，这个方向的首批工作属于李德斯基，他还参加了本书第2版的准备与编辑工作.
可以相信，本书篇幅的一些扩充不会增加阅读的困难，但是，恰恰相反，会给读者许多新的有趣的并且有价值的信息.
Д·П·勒洛本科
【第4版作者序】
费·卢·甘特马赫尔的专著《矩阵论》现在的第4版与第2版（1966年）完全相同.虽然矩阵论的剧烈发展与最近几十年关于矩阵论基础和专门方向有许多新名著问世，但是甘特马赫尔的专著迄今没有失去其卓越的作用.这个原因不仅是它思想丰富，而且有效地利用矩阵方法于力学问题，奇异积分方程、稳定性问题及其他的重要数学分支.
В·Б·李德斯基
【作者简介】
费·卢·甘特马赫尔（1908—1964），1933年在敖德萨师同C·O·沙图诺夫斯基、Г·К·苏斯洛夫与H·T·切波塔列夫教授学习，迁往莫斯科，在那里先在博士预备部学习，后在苏联科学院B·A·斯切克洛夫数学研究所工作.
在第二次世界大战时期，从事著名的“喀秋莎”火箭炮的改进工作，因此在1944年被授予红星勋章，1948年因军事科学工作荣获斯大林奖金一等奖.他是莫斯科物理技术学院创立者之一，在他一生最后15年中，他在那里主持了理论力学讲座.
他是以下图书的作者：
《振荡矩阵与力学系统的微振动》（与M·T·克莱因合作），1941年；
《矩阵论》，1953年；
《不可控制火箭的飞行理论》（与Л·М·列维尼合作），1958年；
《分析力学讲义》，1960年初版，2001年再版；
《可控制系统的绝对稳定性》（与M·A·埃捷尔曼合作）.
本书第1版于1953年问世.本版已经是俄文版第5版了.此外还出版了两个英文版，两个德文版，一个法文版与两个中文版.在50多年中本书并没有失去现实意义，它仍然是数学这个领域中最为普及与深受欢迎的参考书.
【目 录】
第1章 矩阵及其运算 ∥1
§1 矩阵.主要的符号记法 ∥1
§2 长方矩阵的加法与乘法 ∥3
§3 方阵 ∥12
§4 相伴矩阵.逆矩阵的子式 ∥19
§5 长方矩阵的求逆.伪逆矩阵 ∥22
第2章 高斯算法及其一些应用 ∥32
§1 高斯消去法 ∥32
§2 高斯算法的力学解释 ∥37
§3 行列式的西尔维斯特恒等式 ∥39
§4 方阵化为三角形因子的分解式 ∥41
§5 矩阵的分块.分块矩阵的运算方法.广义高斯算法 ∥47
第3章 n维向量空间中线性算子 ∥55
§1 向量空间 ∥55
§2 将n维空间映入m维空间的线性算子 ∥60
§3 线性算子的加法与乘法 ∥62
§4 坐标的变换 ∥63
§5 等价矩阵.算子的秩.西尔维斯特不等式 ∥65
§6 将n维空间映入其自己中的线性算子 ∥69
§7 线性算子的特征数与特征向量 ∥72
§8 单构线性算子 ∥75
第4章 矩阵的特征多项式与最小多项式 ∥78
§1 矩阵多项式的加法与乘法 ∥78
§2 矩阵多项式的右除与左除.广义贝祖定理 ∥80
§3 矩阵的特征多项式.伴随矩阵 ∥83
§4 同时计算伴随矩阵与特征多项式的系数的德.克.法捷耶夫方法 ∥87
§5 矩阵的最小多项式 ∥90
第5章 矩阵函数 ∥95
§1 矩阵函数的定义 ∥95
§2 拉格朗日-西尔维斯特内插多项式 ∥101
§3 f(A)的定义的其他形式.矩阵A的分量
