【内容提要】
本书是作为微积分预备教程，为弥补初等代数对于微积分的不足，为学生从有穷概念向无穷概念过渡而写，读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工作者和广大数学爱好者.
本书在数学史上地位显赫，是对数学发展影响最大的七部名著之一.
【中译者的话】
本书在数学史上地位显赫，是对数学发展影响最大的七部名著之一.初版(1748年)至今虽已200多年，但大数学家A.Weil教授1979年称道其现实作用说：学生从它所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.笔者手边的俄、德、英译本依次出版于1961，1985，1988，这大概可视为其现实作用的一个证明.
欧拉贡献巨大，著述极为多产.本书是它著作中最杰出的，书中结果几乎或为他自己所得，或为他用自己的方法推出.他的作法是把最基本的东西解释得尽量清楚，讲明引导他得出结论的思路，而把进一步展开留给读者，使读者有机会驰骋自己的才能.这大概都是A.Weil教授前面那段话的根据.
本书是作为微积分预备教程，为弥补初等代数对于微积分的不足，为帮助学生从有穷概念向无穷概念过渡而写.读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工作者和广大数学爱好者.
本书从英译本转译，参考俄、德译本作了些订正和改动.
限于水平，中译文错误难免，敬希指正.
【几 段 话】
1.高斯：“学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具.”
2.拉普拉斯：“读读欧拉，他是我们大家的老师.”
3.波利亚很欣赏欧拉的作法：坦率地告诉人们引导他作出发明的思路.
4.AlbertoDou,S.J教授将欧拉的许多著作译成了西班牙文.他对本书的英译者说：“《无穷分析引论》是欧拉著作中最杰出的.”
5.A.Weil教授1979年在Rochester大学的一次讲演中说：“今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.”
【英译者序(节译)】
1979年10月，Andre Weil教授在Rochester大学，以欧拉的生平和工作为题，作了一次报告.报告中他向数学界着力陈述的一点是：今天的学生从欧拉的《无穷分析引论》中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.我查到了该书的法、德、俄三个语种的译本，但查不到英文全译本，就是在这样的背景下，我着手对该书进行翻译的.
欧拉的序言中说得明白，这是一本微积分预备教程.书中有几处，那里的东西只提了一下，把处理留给了微积分，用微积分处理要简单容易许多.凡这种地方书中都有交待.
关于书名，欧拉原文中的无穷(Infinitorum)是复数.看来这复数主要指：无穷级数、无穷乘积和连分式三种无穷.因而书名应译为《有关几种无穷的分析引论》，不顺口，我译它为《无穷分析引论》.
任教于巴塞罗那大学的S.J.Alberto Dou教授将欧拉的很多著作译成了西班牙文，最近译者曾与他谈起过本书.我们就用那次谈话中他的一句话作为这段序言的结束：“在欧拉的著作中《无穷分析引论》最为杰出.”
【作 者 序】
接触到的学生，他们学习无穷分析之所以遇到困难，往往是由于在必须使用无穷这一陌生概念时，初等代数刚学，尚未登堂入室．虽然无穷分析并不要求初等代数的全部知识和技能，问题是有些必备的东西，初等代数或者完全没讲，或者讲得不够详细．本书力求把这类东西讲得既充分又清楚，求得完全弥补初等代数对无穷分析的不足．书中还把相当多的难点化易，使得读者逐步地、不知不觉地掌握到无穷这一思想，有很多通常归无穷分析处理的问题，本书使用了代数方法．这清楚地表明了分析与代数两种方法之间的关系．
本书分上、下两册，上册讲纯分析，下册讲必要的几何知识，这是因为无穷分析的讲解常常伴以对几何的应用．别的书中都讲的一般知识本书上、下册都不讲．本书所讲是别处不讲的，或讲得太粗的，或虽讲但所用方法完全不同的．
整个无穷分析所讨论的都是变量及其函数，因此上册细讲函数，讲了函数的变换、分解和展开为无穷级数．对函数，包括属于高等分析的一些函数进行了分类．首先分函数为代数函数和超越函数．变量经通常的代数运算形成的函数叫代数函数，经别的运算或无穷次代数运算形成的函数叫超越函数．代数函数又分为有理函数和无理函数．对有理函数讲了分解它为因式和部分分式，分解为部分分式之和这种运算在积分学中有着重要应用．对无理函数给出了用适当的代换变它为有理函数的方法．无理函数和有理函数都可以展开成为无穷级数，但这种展开对超越函数用处最大．无穷级数的理论可用于高等分析，为此增加了几章，用于考察很多无穷级数的性质与和．其中有些级数的和不用无穷分析是很难求出的，其和为对数和弧度的级数就是．对数和弧度是超越量，可通过求双曲线下的和圆的面积确定，主要由无穷分析对它们进行研究.接下去从以底为变量的幂转向了以指数为变量的幂．作为以指数为变量之幂的逆，自然而有成果地得到了对数概念．对数不仅本身有着大量应用，而且由它可得到一般量的无穷级数表示．还讲了造对数表的简单方法.类似地，我们考察了弧度．弧度与对数虽然是两种完全不同的量，但它们却有着如此密切的关系，当一种为虚数形式时，可化为另一种，重复了几何中多倍角和等分角正弦和余弦的求法之后，从任意角的正弦余弦导出了极小角的正弦和余弦，并导出了无穷级数．由此，从趋于消失的角其正弦等于角度，余弦等于半径，我们可以通过无穷级数使任何一个角度等于它的正弦或余弦．这里我们得到了如此之多的各种各样的有限的和无穷的这种表达式，以至于无需再对其性质进行研究．对数有着它自己的特殊算法，这种算法应用于整个分析．我们推出了三角函数的算法，使得对三角函数的运算如同对数运算和代数运算一样地容易．从书中有几章的内容可以看出，三角函数算法在解决难题时，其应用范围是何等的广.事实上，这种例子从无穷分析中还可举出很多，日常的数学学习和数学工作中也会遇到很多.
分解分数函数为实部分分式在积分学中有着重要应用，而三角函数算法对分解分式为实部分分式有极大帮助，我们对它进行详细讨论的原因正在于此．接下去的讨论是分数函数展成的无穷级数——递推级数．讨论了它的和、通项和另外一些重要性质.递推级数考虑的是因式乘积的倒数，我们也考虑了展多因式，甚至无穷个因式的乘积为级数．这不仅可导致对无穷多个级数的研究，而且利用级数可表示成无穷乘积，我们找到了一些方便的数值表达式，用这些表达式可以容易地计算出正弦、余弦和正切的对数，利用展因式乘积为级数，我们推出了许多有关拆数为和这类问题的解．倘不利用这一点，看来分析对拆数为和是无能为力的．
本书涉及方面之广，完全可以写成几册书，因而我们力求简单明了，把最基本的东西解释得尽量清楚，而把进一步展开留给读者，使读者有机会驰骋自己的才能，自己来进一步发展分析．我坦率地告诉读者，本书含有许多全新的东西，并且从本书的很多地方可以得到重要的进一步的发现．
下册讨论的问题，一般地说都属于高等几何，处理方法同于上册．一般教科书讲这一部分时都从圆锥曲线开始，本书先讲曲线的一般理论，再讲圆锥曲线，为的是能够应用曲线理论去研究任何一种曲线．本书利用描述曲线的方程，而且只用这种方程来研究曲线．曲线的形状和基本性质都从方程推出．我觉得这种处理方法的优越性，在圆锥曲线上表现得最突出．即或有人对它应用分析方法，那也是显得生硬、不自然的．我们先从二阶曲线的一般方程解释了二阶曲线的一般性质．接下去根据有无伸向无穷的分支，也即是否介于某个有限区域之中，对二阶曲线进行了分类．对于无穷分支，我们进一步考虑分支的条数，并考虑各条分支有无渐近线.这样我们得到了通常的三种圆锥曲线.第一种是椭圆，它介于一个有限区域之中；第二种是双曲线，它有四条伸向无穷的分支，趋向两条渐近线；第三种是抛物线，有两条伸向无穷的分支，没有渐近线．
接下去，对三阶曲线用类似的方法，阐述了其一般性质，并将它分为12类，事实上是把牛顿的72种划分成了12类．对这一方法我们的描述是充分的，不难用它对更高阶曲线进行分类．书中用它对四阶曲线进行了分类．
在分阶进行考察之后，我们转向了寻求曲线的共同性质．讲了曲线的切线和法线的定义方法，也讲了用密切圆半径表示的曲率．虽然这些问题现在一般都用微积分来解决，但本书只在通常代数的基础上对它进行讨论，为的是使读者能够比较容易地从有穷分析过渡到无穷分析．我们也对曲线的拐点、尖点、二重点和多重点进行了研究．讲了如何从方程求出这些点，求法都不难．但我不否认用微分学的方法来求更容易．我们也讲到了关于二阶尖点这有争论的问题．二阶尖点，即有同朝向的两段弧收敛于它的尖点．我们讨论的深度不越出看法一致的范围.
加写了几章，用来讨论具有某些性质的曲线的求法．最后给出了与圆有关的几个问题的解.
几何中有几部分是学习无穷分析所必备的．有鉴于此，我们添上了一个附录，用计算的方式讲立体几何中有关立体和曲面的一些知识．讲了如何用三元方程表达曲面的性质，然后照曲线那样，根据方程的阶数将曲面分了类，并证明了只有一阶曲面才是平面．根据它伸向无穷的部分将二阶曲面分成了六类．对更高阶的曲面也可以用类似的方式进行分类．我们对两个曲面的交线进行了讨论．交线多数都不在一个平面上，我们讲了如何用方程表示交线．最后对曲面的切线和法面进行了一些讨论.
这里声明一点，书中很多东西是别人已经得到了的，恕我没有一一指出．本书力求简短，如果对问题的历史进行讨论，那将突破本书的篇幅限制．作者可聊以自慰的是，对别人已经得到了的东西，其中很多本书是用另一种方法进行讨论的．很希望多数读者从方法新和全新特别是全新的东西中得到益处.
【目 录】
第一章 函 数//1
第二章 函数变换//10
第三章 函数的换元变换//27
第四章 函数的无穷级数展开//38
第五章 多元函数//50
第六章 指数和对数//57
第七章 指数函数和对数函数的级数表示//69
第八章 来自圆的超越量//76
第九章 三项式因式//91
第十章 利用已知因式求无穷级数的和//110
第十一章 弧和正弦的几种无穷表示//125
第十二章 分解分数函数为实部分分式//139
第十三章 递推级数//152
第十四章 多倍角和等分角//173
第十五章 源于乘积的级数//193
第十六章 拆数为和//216
第十七章 应用递推级数求根//234
第十八章 连分数//249