【内容提要】
本书是为适应21世纪人文数学的发展及科学普及的需求，按照数论发展的时间顺序编著而成. 全书分为6章以及4个附录. 本书主要介绍数论和美学两门交叉学科的内容，注重跨学科领域的运用，着力讲述数论中的经典问题和前沿问题，并以美学的角度对这些问题加以审视. 全书以点带面，为数论和美学的研究起到抛砖引玉的作用.
本书可作为大、中学生的科普读物也可作为本科数学专业人文数学类选修课程的教材或参考书目.
【序 言】
生活在当今社会，我们每一个人都会在不同的层面意识到数学科学的重要. 然而，由于这门科学的严谨性和抽象性，使得许多人对其常怀敬畏之心而鲜有欣赏之趣. 其实，正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕像的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有最伟大的艺术才能显示的那种严格完美的境地.”
谈到数学美学，就不能不追溯到古希腊时期. 从哲学的层面来看，希腊文化的本质是对人与宇宙、人与社会的和谐的探索. 毕达哥拉斯提出“美就是和谐”，正是这种艺术精神的理论概括以及受这种观念的影响，古希腊的数学家们在某种形式上亦是美学家，他们在整理和研究数学问题时，也受到了美学观点的影响. 例如亚里士多德便认为“美的主要形式为‘秩序、对称与明确……’，又因为这些形式显然是许多事物的原因，数理诸学自然也必须研究以美学为目的的这一类因果原因.”在古希腊数学家的眼里数学本身就是美学的四大构件之一. 这四大构件包括史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学. 因而，认识数学之美也是审美素质教育的一部分.
然而，数学美既不纯粹是外部自然的客观存在，也不纯粹是主体内部的主观状态，它既不同于绘画、音乐等艺术之美，也不等同于鲜花、彩虹等自然之美，它起源于数学思维对自然规律的洞悉与领悟，表现为主体情感上的某种愉悦和快意. 同时，由于感官仅能认识事物的表象，而只有理性才能把握自然界或理想界的内在规律，因而数学美实质上是一种理性美.
随着社会的进步和教育的发展对美的欣赏与追求正日益广泛地渗透到社会的各个领域中. 人们不仅可以通过音乐、绘画、艺术得到美的熏陶，而且也可以通过自然、社会、科学来美化愉悦精神. 我们在学习、研究数学的过程中，通过对数学美的感受、鉴赏和应用，可以进一步激发对数学的兴趣和热情，提高认知水平和处理问题的能力全面提升我们的综合素质.
《数论中的美学》一书的作者试图从数论这一数学的古老而又充满无限活力的分支中挖掘数学之美，通过许多有趣的问题给我们展示了数学的抽象美、统一美、和谐美、对称美和形式美等. 我们有理由相信，通读这本小书，可以使我们领略数学美的同时，对数学产生应有的兴趣.
朱家生
2012年10月
【目 录】
第零章 绪论一数论中的美学/1
第一章 常数的魅力一初等数论/8
1.1 初等数论中的美学综述/8
1.1.1 序言/8
1.1.2 自然数中的美学世界/9
1.1.3 亲和数(相亲数)/10
1.1.4 自然数中的神奇关系/11
1.1.5 史上最神奇的数字/13
1.1.6 幻方(魔方) /14
1.2 古典美与现代美的统一一一圆周率/17
1.2.1 序言/17
1.2.2 p的奇妙/23
1.2.3 圆周率p在古代的发展/24
1.2.4 圆周率p的计算历程/28
1.2.5 圆周率p与其他数学分支以及物理学的紧密联系/31
1.2.6 圆周率p在当代/32
1.3 自然美的诠释一自然底数e(初等数论篇)/34
1.3.1 序言/34
1.3.2 e的历史与欧洲历史上的“2>3悖论”/36
1.3.3 欧拉恒等式再现/37
1.3.4 “三朵金花”姐妹情深/38
1.3.5 自然底数e的“自然”/39
1.3.6 e与生活/40
1.4 美学的真蹄一一黄金分割比j/45
1.4.1 序言/45
1.4.2 斐波那契数列/47
1.4.3 黄金分割比杂谈/54
1.4.4 黄金分割比与生活/57
1.4.5 黄金分割哲学/60
第二章 从素数谈起二解析数论/62
2.1 解析数论中的美学综述/62
2.1.1 序言/62
2.1.2 解析数论初谈/63
2.1.3 解析数论的起源/64
2.1.4 跨越界限的美/67
2.1.5 素数初步/69
2.2 在碰撞中绽放的思维火花一一调和级数/73
2.2.1 序言/73
2.2.2 调和级数的曼妙/74
2.2.3 百花齐放:发散性证明/77
2.2.4 调和级数的奇异美/82
2.2.5 调和级数延伸/84
2.2.6 调和级数的发散率与部分和/85
2.3 天地有大美一一素数分布/87
2.3.1 序言/87
2.3.2 素数分布的特点/91
2.3.3 梅森素数分布的进一步猜想/93
2.3.4 由孪生素数向n素数的推广猜想/94
2.3.5 与素数定理的邂逅/95
2.3.6 传世的证明成就素数之美/97
2.3.7 素数分布有大美/99
2.4 混沌初开一一欧拉-马歇罗尼常数/101
2.4.1 序言/101
2.4.2 混沌中的希望/102
2.4.3 殊途同归显真美/105
2.4.4 欧拉-马歇罗尼常数性质探讨/108
2.4.5 欧拉-马歇罗尼常数与素数同在/110
2.5 自然美的诠释一一自然底数e (解析数论篇)/111
2.5.1 序言/111
2.5.2 对数积分与指数积分/112
2.5.3 欧拉与e/114
2.5.4 极限分析中的e/116
2.5.5 e与解析数论的深层关系/117
2.5.6 淡妆浓抹总相宣/119
第三章 历史的踪迹——代数数论/122
3.1 深远的过往一一古典代数数论/122
3.1.1 序言/122
3.1.2 历史的错乱/123
3.1.3 古代数论/124
3.1.4 典型数论/127
3.2 破壳而出一一经典代数数论/130
3.2.1 序言/130
3.2.2 中时期的力量/133
3.2.3 《代数整数论》/134
3.2.4 跨越世纪的“总结”/136
第四章 奇异产生美——超越数论/138
4.1 超越数论中的美学综述/138
4.1.1 序言/138
4.1.2 的无理性/139
4.1.3 数p/141
4.1.4 超越数/142
4.1.5 代数数的逼近/143
4.1.6 超越性问题及数论的其他分支/144
4.1.7 超越数论的基本问题/145
4.1.8 给出数的不同方法/148
4.1.9 方法/149
4.2 惊起一滩鸥莺一一连分数/151
4.2.1 序言/151
4.2.2 前面遗留的问题(连分数)/153
4.2.3 连分数的性质杂谈/159
4.2.4 清朝数学家与连分数/160
4.2.5 连分数在天文方面的应用/162
4.2.6 连分数杂谈/165
4.3 经典的再现一一超越性问题/168
4.3.1 序言/168
4.3.2 e的超越性问题/169
4.3.3 p的超越性问题/173
4.3.4 W常数/175
4.3.5 超越性问题杂谈/177
4.4 历史的玩笑一一希尔伯特第七问题/178
4.4.1 序言/178
4.4.2 预备引理/180
4.4.3 格尔丰德证法/181
4.4.4 施耐德证法/184
4.4.5 定理的证明，历史的沉淀/187
4.4.6 施耐德第八问题/188
4.5 混沌美的体现一一超越数论中的零碎问题/190
4.5.1 序言/190
4.5.2 连分数的有理逼近/191
4.5.3 代数数的有理逼近/192
4.5.3.1 代数数以及多项式的参数/192
4.5.3.2 问题的描述/193
4.5.3.3 有理逼近/194
4.5.3.4 补充的连分数逼近/195
4.5.3.5 二次无理性/196
4.5.3.6 刘维尔定理/197
4.5.3.7 刘维尔定理的推广/199
4.5.4 数e的有理逼近/199
4.5.5 林德曼-魏尔斯特拉斯定理/201
4.5.6 沙努尔猜想/203
第五章 百花齐放谈数论/205
5.1 从费马谈算数代数几何/205
5.1.1 序言/205
5.1.2 费马大定理/208
5.1.3 费马小定理/209
5.1.4 费马平方和定理/211
5.1.5 费马多边形定理/213
5.2 青春活力——几何数论/. 215
5.2.1 序言/215
5.2.2 闵可夫斯基与几何数论/216
5.2.3 格点问题/217
5.2.4 除数问题/220
附录A 调和级数发散的14 种证法/223
附录B 黎曼z函数/232
附录C 数论常用常数连分数表/235
附录D 论不大于一个给定值的素数个数/237
附录E 17世纪以来部分数学家族谱/252
参考文献/254