【内容提要】
本书全面、系统地介绍了矩阵论的基本理论、运算方法及其应用。全书分八章，前四章突出基础理论，重点介绍线性空间与线性变换，欧氏空间与酉空间，Jordan标准形，向量与矩阵的范数理论。后四章侧重应用，学习矩阵的分析运算，特征值的估计，广义逆矩阵在解线性方程组中的应用，矩阵直积在解矩阵方程及矩阵微分方程中的应用。每章配有相应的习题，书末给出答案与提示。附录中给出哈工大研究生矩阵分析2007—2012年考试试题及参考答案。本书力求行文流畅，例题详实，推论严谨，深入浅出，旨在提高工科研究生的数学修养和自学能力。
本书可作为工科院校硕士生、博士生矩阵分析课程的教科书，也可供有关专业的教师、工程技术与科研人员参考使用。
【前 言】
本书是笔者在近年来为哈尔滨工业大学硕士生、博士生讲授矩阵分析课程的讲义基础上编写而成的。
矩阵作为一种基本的数学工具在数学理论及其他科学领域，如控制理论、数值分析、信息与科学技术、最优化理论、管理科学等学科都有十分重要的应用。毋庸置疑，深入学习和熟练掌握矩阵的基本理论和相关计算对于工科的研究生来说十分重要。
本书共八章，前四章主要侧重基础理论，重点介绍线性空间、线性变换、内积空间、正交投影、Jordan标准形、向量与矩阵的范数理论。后四章侧重应用，主要学习矩阵的分析运算，矩阵在线性系统中的应用，在求解微分方程组中的应用，特征值的估计，广义逆矩阵在解线性方程组中的应用，矩阵直积在解矩阵方程及矩阵微分方程中的应用，等等。全书大约用40学时学完，有些内容因学时所限可以选讲，每章后面配有一定的习题，认真做好习题对掌握教材内容是非常必要的。
在编写本书过程中，得到哈尔滨工业大学研究生院、数学系有关领导的大力支持，特别是研究生院培养处吴林志处长、宋平老师的关怀与帮助为本书的出版创造了必要条件，在此深表诚挚的谢意。笔者还要感谢数学系教学带头人杨克劭教授，本书的出版是和他的鼓励与帮助分不开的。
由于水平所限，书中难免有纰漏之处，敬请广大读者指正。
董增福
2003年7月
于哈尔滨工业大学
【目 录】
第一章 线性空间与线性变换 // (1)
1.1 线性空间 // (1)
1.2 线性空间的基与坐标 // (5)
1.3 线性子空间 // (10)
1.4 线性映射与线性变换 // (17)
1.5 线性变换的矩阵表示 // (23)
习题一 // (34)
第二章 内积空间 // (36)
2.1 欧氏空间与酉空间 // (36)
2.2 内积空间的度量 // (43)
2.3 酉变换 // (51)
2.4 正交子空间与正交投影 // (58)
习题二 // (64)
第三章 矩阵的Jordan标准形及矩阵分解 // (66)
3.1 不变因子与初等因子 // (66)
3.2 矩阵的Jordan标准形 // (71)
3.3 Cayley-Hamilton定理 // (78)
3.4 矩阵的满秩分解 // (81)
3.5 *矩阵的三角分解QR分解 // (83)
3.6 单纯矩阵与正规矩阵的谱分解 // (84)
3.7 矩阵的奇异值分解 // (94)
习题三 // (97)
第四章 范数理论 // (100)
4.1 向量范数 // (100)
4.2 矩阵范数 // (107)
4.3 算子范数 // (113)
4.4 范数的应用 // (118)
习题四 // (125)
第五章 矩阵分析 // (127)
5.1 矩阵序列 // (127)
5.2 矩阵级数 // (130)
5.3 矩阵函数 // (134)
5.4 函数矩阵与矩阵值函数的微分 // (147)
5.5 矩阵微分的应用 // (155)
5.6 Laplace变换 // (158)
5.7 *矩阵函数在线性系统中的应用 // (167)
习题五 // (171)
第六章 特征值的估计 // (174)
6.1 特征值界的估计 // (174)
6.2 圆盘定理 // (177)
6.3 Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商 // (183)
6.4 广义特征值与广义Rayleigh商 // (191)
习题六 // (194)
第七章 广义逆矩阵 // (197)
7.1 广义逆矩阵的概念 // (197)
7.2 广义逆矩阵A-与自反广义逆A-r // (198)
7.3 A-m与相容线性方程组Ax=b的极小范数解 // (209)
7.4 A-l与矛盾线性方程组Ax=b的最小二乘解 // (212)
7.5 A +在解线性方程组Ax=b中的应用 // (214)
习题七 // (222)
第八章 矩阵的Kronecker积及其应用 // (225)
8.1 矩阵的Kronecker积 // (225)
8.2 矩阵Kronecker积的特征值 // (228)
8.3 用矩阵Kronecker积求解矩阵方程 // (232)
8.4 矩阵微分方程 // (237)
习题八 // (240)
习题答案与提示 // (242)
附录：哈尔滨工业大学研究生《矩阵分析》课程考试试题及参考答案 // (285)
参考文献 // (341)