【内容提要】
本书通过大量的几何定理和命题归纳出一道具有代表性的命题，给出了多种证法，从不同的证法和回顾证法过程中，得出一系列的方法和命题.
本书可供中学数学师生和业余数学爱好者参考使用.
【前 言】
提高初等数学解题和证明题的能力是加强和巩固数学各分支基础知识的一项重要手段.在掌握各基础知识的前提下，做一定数量的练习，对初学者来说是必不可少的一项任务.在解题和证明题方法上强调基本功的训练和总结，对证明一个定理或命题运用学过的数学知识中的前后和相互联系，采用多种方法解题、证明定理或命题时，自然有利于提高和培养初学者的逻辑思维、推陈出新、触类旁通和以类相从的能力，则打破了各学科用自身知识方法去解或证类型题的约束，也发展各学科纵横内在的联系.在这种思想指导下，编写了《平面几何专题研究》一书，该书证法有170多种，还有300多个说明.其中，说明里还包括100多种证法，实际大致有200多种证法.从证法和说明中还引出100多个定理、命题和其他问题.共三章：第一章介绍了平面几何基础概论、证题思想、证题方法和辅助线变化等内容；第二章介绍了平面几何命题多证法、常见辅助线作法、证题结论相互转化证法和其他类型证明题归类；第三章介绍了专题多种证法，采用了不同的证法，从证法中得到了再生的多种方法，新命题和以退为进的方法，每一种证法都配有说明，说明里概述了辅助线的作法、第三量和第四量为代换的方法，也从部分说明里给读者留下了一些思考问题.另外还归类了一些证题的方法，如：利用全等、中位线、等腰形、平行四边形、平行线、平行投影、锥投影、相似形、直角形、比例和差积商的特殊值、圆幂、共点线、共点圆、圆共点、共线点、切线、正余弦、角和差三角函数、面积、第三和第四量、定比、椭圆、等分合更比、一量化几量的和差、平角倍数关系、方程求根、代数恒等式、轨迹、翻折、旋转、平移、仿射、射影、质点、向量、数轴、坐标和空间等方法证明，其次，证明述程曲折迂回，过程繁琐，不够自然，当然换一个角度看，也并非是件坏事，它能够引起大家去思考和研究更简单的主题方法，因为，也可达到“举一反三”意想不到的效果.该《平面几何专题研究》众多的证明方法，但有简单与繁琐、巧妙与笨拙的证明方法富有启发性，特别是证明方法有推广和引伸的余地，由此还可以得出许多新的结论，前者的证明方法可能不具备这种特点.但从证法中引出了一些著名的定理、命题、推广和几何学部分分支最初的印象“定义”.
本书将有助于读者巩固和加深所学平面几何基础知识和推而广之，解脱传统观念、开拓思路、与日求进步、提高解题和证题的能力.读了该书后，会感觉数学学海无涯和自得其乐，同时也希望读者有新的证法、其他新见长和见识等给予提出!
由于笔者学知所限，错误一定存在，望读者给予批评和指正为盼.
编 者
二○○九年四月十日于内蒙东乌旗
【目 录】
第1章 基本概论及方法 // 1
1.1 主要定义、公理和公设 // 1
1.2 数学证明 // 2
1.3 定理(或命题)四种变化及举一反三 // 3
1.4 结论的位置 // 3
1.5 结论的转化形式 // 4
1.6 辅助线的证题思想 // 4
1.7 几何图形的辅助线 // 5
1.8 定理(或命题)的常见图形 // 7
1.9 直接证法 // 7
1.10 间接证法 // 8
1.11 解析法 // 9
1.12 三角法 // 9
1.13 代数法 // 9
1.14 演变法 // 9
1.15 演绎法和归纳法 // 10
第2章 证题法的一般规律 // 11
2.1 定理(或命题)的多证法 // 11
2.2 常见辅助线和常用定理 // 12
2.3 两线段相等的证法 // 13
2.4 两角相等的证法 // 15
2.5 一线段等于两线段和的证法 // 16
2.6 一角等于另两角和的证法 // 17
2.7 一线段等于另一线段二倍或一半的证法 // 18
2.8 一角等于另一角二倍或一半的证法 // 18
2.9 几个比的和或积等于1的证法 // 18
2.10 点共线的证法 // 19
2.11 线共点的证法 // 20
2.12 点共圆的证法 // 21
2.13 圆共点的证法 // 22
2.14 几何定值的证法 // 23
2.15 几何最大值的证法 // 24
2.16 几何最小值的证法 // 25
2.17 其他类型几何命题的证法 // 25
第3章 专题多证法实例 // 27
3.1 专题采集 // 27
3.2 专题证法研究实例 // 28
实证法引出的一些定理 //
梅涅劳斯(Menelaus)定理和推广 // 证法2说明4
梅涅劳斯有向三角定理 // 证法2说明4
帕普斯(Pappus)交比定理 // 证法2说明4
分点线三角形面积定理 // 证法2说明4
射影几何基本定理 // 证法27说明1、证法124、125、126说明1
凸四边形面积公式 // 证法27说明4
面积的定比分点公式 // 证法27说明5
凸四边形面积公式推广 // 证法31说明3
爱尔克斯(Eohols)定理推广 // 证法35说明1
爱尔克斯定理1 // 证法35说明1
厄尔多斯—莫德尔(Erdos-Mordell) // 证法35说明2、证法159说明9②
三角形中线定理 // 证法35说明4，证法51说明2
阿波罗尼斯(Apollonius)定理 // 证法35说明4，证法51说明2
帕普斯中线定理 // 证法35说明4，证法51说明2
斯霍滕(Scnooton)定理 // 证法35说明4
四边形中线定理 // 证法35说明7
三角形中线定理推广 // 证法35说明7
四边形对角线定理 // 证法35说明8
爱尔克斯定理2 // 证法35说明10
爱尔克斯多边形定理 // 证法35说明10
莱布尼茨(Leibniz)定理或公式 // 证法35说明11
圆中蝴蝶定理 // 证法46说明3
拿破仑(Napoleon)定理 // 证明35说明10
根心定理 // 证法47说明1
完全四边形密克(Mi-quel)点定理 // 证法47说明1
三角形密克点定理 // 证法47说明1
戴维斯(Davies)定理 // 证法47说明1
完全四边形九点圆 // 证法47说明5
外心圆定理 // 证法47说明5
三角形九点圆推广 // 证法47说明5
三角形西姆松(Sinson)线定理 // 证法48说明1
萨蒙(Sdlmon)定理 // 证法48说明1
阿基米德(Archimedes)拆弦定理 // 证法48说明1
阿基米德拆弦定理推广 // 证法48说明1
华莱士(Wsllace)线定理 // 证法48说明1
完全四边形西姆松线定理 // 证法48说明2
完全五边形密克圆定理 // 证法48说明2
密克圆定理 // 证法48说明2
克利福德(Clifford)圆定理 // 证法48说明2
六连环圆定理或古楼钱圆定理 // 证法48说明2
斯坦纳(Steiner)定理1 // 证法48说明6分析4
垂趾圆定理 // 证法48说明6分析4
三角形一般九点圆推广 // 证法48说明6分析4
三角形等角共轭点定理 // 证法48说明6分析4
察柏尔(Chapple)定理 // 证法48说明6分析4
欧拉(Euler)公式 // 证珐48说明6分析4
三角形陪位重心定理 // 证法48说明6分析4
清宫(清宫俊雄)定理 // 证法48说明12
西姆松—卡诺—清宫定理推广 // 证法48说明12
奥佩尔(Oppel)定理 // 证法48说明12
哈格(Haga)圆定理 // 证法48说明13
三角形七点圆定理 // 证法48说明13
西姆松线定理推广 // 证法49说明2
三角形卡诺线定理 // 证法49说明2
完全四边形卡诺(Carnot)线定理 // 证法49说明2
圆内角平分线成比例定理推广 // 证法50说明1
圆外角平分线成比例定理推广 // 证法50说明1
坎迪定理 // 证法50说明3
圆中蝴蝶定理推广 // 证法50说明2、3
圆中坎迪定理的推广 // 证法50说明3
三弦共点或平行定理 // 证法50说明6
托勒密(Ptolemy)定理 // 证法51说明2、证法167说明4
三弦公式 // 证法51说明2
托勒密正弦定理 // 证法51说明3
托勒密定理推广(不等式) // 证法51说明2，5
五边形面积定理 // 证法51说明4
伏托(Fordos)定理 // 证法51说明4
贝利契德(Bretschneider)定理 // 证法51说明5
四边形余弦定理 // 证法51说明5
圆中交比定理 // 证法51说明6.7
交比不变性定理 // 证法51说明7
波斯拉(Poncelet)不变性定理 // 证法51说明7
圆中交比推广定理 // 证法51说明7
毕达哥拉斯(Pythagoras)定理 // 证法51说明8、证法159说明9
勾股定理 // 证法51说明8、证法159说明9
商高定理 // 证法51说明8、证法159说明9
陈子定理 // 证法51说明8、证法159说明9
希波克拉底(Hippocrates)定理 // 证法51说明9
塞瓦(Ceva)定理 // 证法67说明1
热尔岗(Gergonne)点定理 // 证法67说明2
第二莱莫恩(Lemoine)圆 // 证法67说明3
余弦圆 // 证法67说明3
第一莱莫恩圆 // 证法67说明3
三乘比圆 // 证法67说明3
塔克(Tucker)圆定理 // 证法67说明3
泰勒(Taylor)圆定理 // 证法75说明2
维维安尼(Viuiani)定理 // 证法75说明3
维维安尼定理推广 // 证法75说明3
三角形界心定理 // 证法101说明1
尼格尔(Nicole)点定理 // 证法101说明1
斯毕克(Spieger)圆定理 // 证法101说明1
欧拉线定理推广 // 证法101说明2
欧拉线定理 // 证法101说明3
波罗摩笈多(Brahmagnta)定理 // 证法101说明5
波罗摩笈多定理推广和加强 // 证法101说明5
三角形九点圆定理 // 证法101说明7
垂心组九点圆 // 证法101说明7
欧拉圆定理 // 证法101说明7
费尔巴哈(Feuerlacb)圆定理 // 证法101说明7
波斯拉(Poncelet)圆定理 // 证法101说明7
热尔岗圆定理 // 证法101说明7
布里昂雄(Brianohon)圆 // 证明101说明7
约翰逊(Jonnson)定理和推论 // 证法101说明7
调和四边形中的定理 // 证法101说明7
欧拉线定理和推广的有关性质 // 证法101说明8
史坦纳(Steiner)定理2 // 证法101说明12
完全四边形垂心线定理 // 证法101说明13
牛顿(Newton)线定理 // 证法101说明13，证法127说明2，证法166说明1
高斯(Gauss)定理 // 证法101说明13
三角形重圆定理 // 证法101说明15
哈格定理 // 证法101说明16
张角定理 // 证法124说明1
笛沙格(Desargues)定理 // 证法126说明2
帕普斯定理 // 证法126说明5
帕斯卡定理 // 证法126说明6
莱莫恩线定理和推广定理 // 证法126说明6
布里昂雄定理 // 证法126说明6
马克劳林(Maclaurin)定理 // 证法126说明6
格日得力(Gregonne)定理 // 证法127说明5
布鲁恩(Brene)定理 // 证法127说明5
垂心线定理推广 // 证法153说明2
库利吉——大上(Coolidge——大上茂)定理 // 证法153说明2
完全四边形十点圆 // 证法153说明2
卡诺(Carnot)线的几种形式 // 证法153说明2
卡诺线推广 // 证法153说明2
卡诺三角形重心线 // 证明153说明2
卡诺三角形九点圆圆心线 // 证明153说明2
卡诺三角形另一种简单形式 // 证明153说明2
四边形坎迪定理 // 证法153说明3，4，5
四边形坎迪定理推广 // 证法153说明3，4，5
四边形蝴蝶定理 // 证法153说明4，5
四边形蝴蝶定理推广 // 证法153说明4，5
完全四边形蝴蝶定理 // 证法153说明3，4，5
帕普斯对合定理 // 证法153说明5
笛沙格对合定理 // 证法153说明5
三角形蝴蝶定理 // 证法153说明5
欧几里得勾股定理推广 // 证法159说明9
勾股不等式 // 证法159说明10
外森比克(Weisenbock)不等式 // 证法159说明10
匹多(Pedoe)不等式 // 证法159说明10
勾股不等式推广 // 证法159说明10
西姆松线定理的有关性质 // 证法166说明1，2，3，4，5
欧拉定理 // 证法167说明4
斯特瓦尔特(Stewart)定理 // 证法167说明4
沙勒(Shasles)定理 // 证法167说明4
帕普斯勾股定理推广 // 证法176说明1
平面德卦(Dedye)定理 // 证法176说明1
空间德卦定理 // 证法176说明2
格雷贝(Grebe)作图法 // 证法176说明4
陪位重心作图法 // 证法176说明4
编辑手记 // 524
【编辑手记】
在史蒂夫·乔布斯的葬礼上演奏巴赫的无伴奏组曲的大提琴家马友友，并非音乐科班出身.1976年他从哈佛大学毕业，专业居然是人类学，而且他的导师埃尔文·德沃尔(Irven De Vore)还是当代最杰出的人类学家之一.
本书作者郭小全也非数学专业毕业生，也不是从事数学教育的工作者，平面几何对于他来说完全是业余爱好.他的工作是内蒙古地区的一个税务局的局长.
在《文集》中张岱给自己戏撰的《墓志铭》说到他极爱明末的繁华，连续用了12个好字，“好”是自我欣赏的意思，标示出的沉迷范围包括：精舍，美婢，娈童，鲜衣，美食，骏马，华灯，烟火，梨园，古董，花鸟，自称“茶淫橘虐，书蠹诗魔”.我们数学工作室的一位老作者——天津的王成维老先生的人生三大快事是：下围棋(经常败于笔者)，钓大鱼(一年去不了几次)，解难题(这倒是常年累月).本书作者的两大爱好是：喝小酒，证几何题.
有媒体报道，金正恩曾在瑞士伯尔尼国际学校学习(1993—1998)，据德国媒体采访其同学爆料，金正恩数学成绩特别好，所以数学好或好数学这件事在任何人身上都会发生，不论他是从事什么职业的.
郭先生酒量极大.2012年在厦门召开的“全国初等数学研究会”期间，笔者同他与周春荔教授一起聚了一次，其豪饮程度很像蒙古人，但其实他是汉人.正像他研究的平面几何，初看像是专业人士(因其深入)，但细品还是可看出其业余出身(因其风格).
《圣经》在译成英文之前，仅少数懂拉丁文的牧师掌握解释权，有人说：这是导致教会腐败的原因之一.数学也是如此.数学(当然包括平面几何)是全人类的宝贵精神财富.这个财富的继承、传播、发