【内容提要】
本书以现代的观点简明而完整地讲述傅里叶级数的基础理论，全书共分7章．第1章讲述预备性知识；第2，3章讲傅里叶级数的性质；第4章讲傅里叶级数的收敛性及其判别法；第5章、第6章讲傅里叶级数的求和法及其应用；最后一章讲一般的三角级数．另有一个附录，对全书主要内容的来源作了一个综述．本书可供高等学校理科相关专业高年级学生、研究生参考．
【序 言】
这本小册子是以我们二人各自在剑桥和其他地方的讲稿为基础的．关于这个题目已经有很多书；但是我们想，用现代的精神来写一本还是有它应有的地位的：一本足够简明可以作为这个丛书之一，同时也足够完整可以作为齐格蒙德(Zygmund)的标准著作的入门书．
我们不是为物理学工作者写的，也不是为初学的人写的，而是为了那些对于这个理论原先已有兴趣且具有一定基础的数学工作者写的．仔细地说来，我们假定读者已经熟悉勒贝格积分的原理：不熟悉勒贝格积分而想准确地理解傅里叶级数的理论是不可能的；经验证明，熟悉勒贝格积分是大学生力所能及的．这里所需要的实际知识很容易从梯奇马什(Titchmarsh)的“函数论”（Theory of Functions）的第Ⅹ~Ⅻ章中获得．至于三角级数的理论，“正式地”说来，本书是自身完整的，但是我们也非正式地承认读者必已具有关于三角级数的某些知识（如蒂奇马什书中第ⅩⅢ章中的内容）．
自然，我们不得不略去许多我们原想列入的内容．具体地说，我们没有篇幅去提到例如杨（Young)和豪斯道夫(Hausdorff)的不等式，有关共轭级数的M.黎斯(Riesz）定理，有关一般阶的塞萨罗(Cesro)求和法的定理，也没有提到可求和级数的唯一性定理．关于特殊级数，除了为说明一般理论的少数几个外，我们没有给出其他结果．
书末的附录是不系统的；我们只引入了那些能简单叙述而且我们认为有用的一些参考文献和评注．须特别提出的是，对这个题目的历史我们没有企图去作适当的叙述：欧拉(Euler)、傅里叶(Fourier）本人，泊松（Poisson）和迪利克雷(Dirichlet)很少提到．在这样一本书里要对历史作适当的叙述是不可能的．
我们必须感谢S.M.埃特蒙兹（Edmonds)，W.H.J.富克斯（Fuchs)博士，A.J.马辛脱里(Macintyre)博士和A.C.奥福特（Offord）博士，感谢他们对校样的帮助和很多有价值的批评．
哈代(Hardy)
罗戈辛斯基(Rogosinski)
1943年9月
【目 录】
第1章 通论 ∥1
1.1 三角级数 ∥1
1.2 三角级数与调和函数 ∥3
1.3 Fourier三角级数 ∥4
1.4 测度和积分 ∥5
1.5 Lp类 ∥7
1.6 Lp空间及其度量∥8
1.7 Lp中的收敛（强收敛） ∥9
1.8 两个周期函数的折合 ∥10
1.9 L2中的直交系 ∥11
1.10 直交系的例子 ∥12
1.11 一些进一步的知识 ∥13
第2章 Hilbert空间中的Fourier级数 ∥15
2.1 L2中一般的Fourier级数 ∥15
2.2 RieszFischer定理 ∥16
2.3 完备系和Parseval定理 ∥16
2.4 Mercer定理 ∥17
2.5 封闭性和完备性 ∥18
2.6 三角函数系的完备性 ∥18
2.7 三角级数的Parseval定理和RieszFischer定理 ∥20
2.8 关于其他函数系的一些定理 ∥21
2.9 Weierstrass定理 ∥21
第3章 Fourier三角级数的其他性质 ∥23
3.1 Fourier常数的简单性质 ∥23
3.2 RiemannLebesgue定理 ∥24
3.3 几个简单不等式 ∥25
3.4 Fourier常数的数量级 ∥26
3.5 有界变差函数 ∥27
3.6 几个基本公式 ∥29
3.7 一个特殊的三角级数 ∥30
3.8 Fourier级数的积分 ∥32
3.9 一个基本的收敛定理 ∥34
3.10 具有递降系数的级数 ∥34
3.11 具有递降系数的级数（续） ∥37
3.12 Gibbs现象 ∥38
第4章 Fourier级数的收敛性 ∥41
4.1 引言 ∥41
4.2 Fourier级数的收敛问题 ∥42
4.3 在一点的连续条件 ∥44
4.4 Dini判别法 ∥45
4.5 有界变差函数：Jordan判别法 ∥46
4.6 Lebesgue判别法 ∥47
4.7 一致收敛的其他判别法 ∥49
4.8 共轭级数 ∥50
4.9 共轭级数的收敛问题 ∥51
4.10 共轭级数的收敛判别法 ∥53
4.11 sn（θ）和sn（θ）的数量级 ∥54
4.12 在连续点的发散性 ∥55
4.13 就范直交系的Lebesgue函数 ∥56
4.14 三角函数系（T)的Lebesgue常数 ∥57
第5章 Fourier级数的求和 ∥59
5.1 引言 ∥59
5.2 线性的正则求和法 ∥60
5.3 (C, 1)求和法以及A-求和法 ∥61
5.4 K-求和法及其核 ∥62
5.5 Fourier级数在连续点或跳跃点的求和 ∥64
5.6 几乎处处可求和 ∥67
5.7 Fourier级数的(C,1)求和 ∥69
5.8 共轭级数的(C,1)求和 ∥70
5.9 A求和 ∥71
5.10 共轭级数的A求和 ∥74
5.11 定理70至定理76的一些应用 ∥75
5.12 Fourier级数的导级数 ∥76
第6章 第5章定理的应用 ∥78
6.1 引言 ∥78
6.2 一个几乎处处发散的Fourier级数 ∥78
6.3 具有正系数的Fourier级数 ∥81
6.4 Kolmogoroff的另一定理 ∥82
6.5 Fourier级数的强性求和 ∥83
6.6 其他求和法 ∥85
6.7 应用 ∥86
6.8 共轭函数的存在性 ∥88
6.9 Fourier级数的收敛因子 ∥90
6.10 Kuttner定理 ∥91
第7章 一般三角级数 ∥93
7.1 通论 ∥93
7.2 收敛的三角级数的系数 ∥94
7.3 Riemann求和法 ∥94
7.4 连续函数的广义二阶导数 ∥96
7:5 关于凸函数的一个定理 ∥97
7.6 Cantor定理和du BoisReymond定理 ∥99
7.7 无界函数，dela ValléePoussin定理 ∥100
7.8 更一般的情形 ∥102
附 录 ∥104
编辑手记 ∥115
【编辑手记】
本书是英国著名数学家哈代的一部名著.
1919年夏,哈代游历斯堪的纳维亚,应邀做了许多报告,丹麦数学家Harald Bohr慨叹.“眼下，只有三个真正伟大的英国数学家：Hardy,Littlewood和Hardy-Littlewood”.这既说明了哈代本人就是一位伟大的数学家，也说明他是一位善于合作的数学家.他的最伟大的合作者就是Littlewood.当我们在数学书中不断地看到：Hardy-Littlewood极大函数，Hardy-Littlewood圆法，Hardy-Littlewood定理时，就会追忆起他们那令人向往的合作.
本书就是哈代的一个合作成果.本书另一位作者罗戈辛斯基（1894-1964）也是一位著名的英国数学家，不过他远不如哈代知名.他的研究方向与哈代相同，都是分析学和数论.本书是他俩1943年合作的成果.
哈代的著作不多，他认为“年轻人该去证明定理，而老人该去写书”.他不太看重写书，在他看来，数学家应该是创造者，为数学添砖加瓦，而不是给人家讲数学家做了什么.“只有最原创的工作才有长久的价值”.
哈代是一位具有传奇色彩的人，他与咬了一口毒苹果（乔布斯将之用于手机标志）的图灵一样，也是个同性恋无神论数学家，他曾担任过科学家工会的主席，还在房间里挂上了列宁像！说明他在政治上是幼稚的.对“十月革命”抱有天真的幻想（同他类似的还有萧伯纳）.
以我们普通人看来哈代像是一位不食人间烟火的圣人，沉浸在数学王国之中.
哈代还是一个“怪人”，在给朋友的一张新年贺卡上他写了6个宏愿：
1．证明黎曼猜想.
2.在一场重大板球比赛中有辉煌的发挥.
3.证明上帝不存在.
4.做第一个登上珠穆朗玛峰的人.
5.宣告为苏联、英国和德国的第一任总统.
6.谋杀墨索里尼.
前两点他做得不错（黎曼猜想他证明了一部分.猜想说所有的情形都应如此，他证明了有无限多的情形确实如此；板球是他唯一的业余爱好），第3点也不错，他没有宗教信仰，还经常恶作剧似地“欺骗”上帝.例如，本来他想玩儿板球，却故意带着厚厚的毛衣、雨伞、数学论文和学生的考卷，让上帝以为他想在雨天继续工作，那么上帝多半儿不会让他如愿，整天都阳光灿烂，结果他正好可以玩儿板球了！后3点当然只能是“心愿”.从这样稀奇的心愿，可以想见他的天真和他在政治问题上的“天真无邪”和“爱憎分明”.
正如斯诺在一篇文章中回忆的，哈代有许多“怪癖”.他怕照镜子，每进宾馆，总是先用毛巾把房间里的镜子遮盖起来，但其实他是个相当英俊的英国人.他也讨厌照相，据说只留下5张快照.哈代没有家，妹妹也没嫁，兄妹相伴终生.除了母亲和妹妹，他的一生与女人没有丝毫关系.他玩儿了数学玩儿板球，孤独地生活在剑桥和牛津的象牙塔里.
世界上有许多著名的数学学派，其中数学分析英国学派是重要的一支.据维纳说：
1900年后，数学分析英国学派的主要设计者是哈代.在打基础、建大厦的时候，他找到了伙伴J.E.Littlewood……通过他们的感召、他们的研究和他们的教学，终于在1930年建立了世界独一无二的数学分析学派.
具体说来，哈代对英国数学（特别是分析学）的功绩大概有以下几个方面：
大力推进不同分析领域的研究，特别是积分、傅立叶级数以及解析数论；
帮助创办英国的纯数学学术刊物；
坚持倡导数学家的国际合作；
呼吁研究机构增大对数学研究的经费支持.
哈代的课也上得很好.维纳后来回忆：
哈代对于一个雄心勃勃的年轻数学家来说，是一个理想的导师和榜样……听他的课对我来说是件乐事，我以往在高等数学的探索中始终不能完全满意……可是哈代却那样清晰、那样细致地引导我彻底掌握高等数学的复杂逻辑.当我遇到困难时，他就使之迎刃而解，并让我真正认识到，对数学证明来说什么是必需的.
哈代对中国数学的发展是有一定影响的.因为华罗庚是中国近代数学的一个标志性人物，而华罗庚当年到剑桥是师从哈代的.
现在我们说“哈代这个人”.Godfrey Harold Hardy，1877年2月7日生于英国克兰利(Cranleigh)；1947年12月1日在剑桥去世.斯诺曾详细介绍过哈代的一生，我们最后欣赏一点儿花絮，看纯情的数学家是个什么样的人.
我曾为知识领域添砖加瓦，也曾帮别人添枝加叶；这些东西的价值，比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值，只是程度上有所不同，性质上并无差异.
这是哈代在《自白》里对自己一生的总结，说得一点儿也不谦虚.当然，他从来就不会“谦虚”的.他自认为“曾经”是天下第五“最好的纯粹数学家”.而且，《自白》里也常常流露出高傲的“剑桥味”，看不起某些人、某些“派”.例如，他说Farey因为不知道Haros的一个定理（其实Haros也没证明）而不朽，几个低能的挪威人因为Abel而不朽.后面，他在引用了Hogben对数学的辩护后，却又说他“几乎不懂任何‘真’数学，对它也没有多少感情.”不过，换个角度看，哈代的话多少是“浪漫派”的，我们这样说似乎更有“现实意义”：之所以只有那些“初等的”数学在影响人们的日常生活，是因为大多数人没有明白“高深的”数学，而我们的数学课，不论初等的还是高深的，从来没有成为一门让大家来听的艺术课.这是当前我国数学教育的一个核心问题.
哈代曾发表过一个对现代数学意义重大的观点：
真正的数学家的真正的数学，比如费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼的数学，几乎都是完全没有用的（无论是应用数学还是纯数学，都是这样的）.不能以用途为标准，来评价真正专业的数学家……在现代，应用数学最伟大的成就，就是相对论和量子力学，而目前无论在哪个层面，这些科目都几乎和数论一样没用.这是应用数学最基本的部分，也是纯数学最基本的部分，正是这个部分，才是最重要的.
本书最早的版本，书名叫《富里埃级数》，本次重版之所以改名为《三角级数论》主要是因为对于Jean Baphiste Joeph Fourier(1768-1830）这个人来说译名太多了，有傅里叶、傅利叶、付里叶、富利哀、傅里耶，胡作玄先生译为傅立叶.樊畿先生译为傅利，等等不一而足.每一位数学家在谈到他的时候都会自己根据英文或法文给出一个译名，莫衷一是，姑且改名.
有人这样判定文艺青年，老老实实说“佛罗伦萨”，是普通青年；不说“佛罗伦萨”偏要说“翡冷翠”，绝对是文艺青年.（1925年，徐志摩写下诗歌《翡冷翠的一夜》，把意大利的Firenze诗意地翻译为“翡冷翠”）
其实用《三角级数论》来代替《Fourier级数论》的另外一个理由是他的名字已经与三角级数论建立了一一对应的关系，因为Fourier唯一重要的著作就是《热的解析理论》.在这本书中对三角级数进行了开创性研究.第三个原因与日文有关，中国近代数学名词与日文关系密切.航母英文是Aircraftcarrier，直译应为承载飞机的舰艇，前苏联称之为载机巡洋舰，明治维新之后，日本将其翻译成航空母舰，我国依日文确定了中文译法.
我国的第一本《三角级数论》著作也是由日文转译过来的.1929年陈建功在日本获得了博士学位后，应导师腾原要求用日文撰写了专著《三角级数论》，中文版分别于1964和1979年由上海科学技术出版社出版，今年由我们数学工作室再版.由数学人出版数学名著如同文人办出版社，结果好的不多.
出版家范用曾说：“文人办出版社，办严肃的出版社，有个性的出版社，有人说那是书呆子办傻事.我们有过文人办的未名社、创造社、三闲书屋、文化生活社、平明出版社、复社、泥土社、明日社、开明书店、万叶书店、怀正文化社……主持人都是作家，早已成为历史，此地空余悠悠，只有读者尚记得他们，他们的书，散在人间，有些就被爱书人收藏，如果现在有人还做这个梦，办这样的出版社，就呆气十足，傻得可爱”.
现代的年轻人已经很少有人对数学经典怀有敬畏之心了，随着上代人的谢幕和这代人的离退，情况会变坏.作家有一个强项，那就是能准确的表达出自己的真实想法，笔者十分羡慕，今年笔者正好50，正不知如何抒发，恰好看到王朔的一篇文章中这样写道：
小时候，五十年是很大的数字，遥远得无从想象，我曾经以为日子是过不完的，未来是完全不一样的.现在，我就待在我自己的未来，我没有发现自己有什么真正的变化，我的梦想还像小时候一样遥远，唯一不同的是我已经不打算实现它了“，对就这意思.
刘培杰
2013年5月2日
于哈工大