【内容提要】
本书从一道普特南数学竞赛试题谈起，详细地介绍了卡塔兰猜想的产生、证明方法及其在数学竞赛试题中的广泛应用.并且针对学生和专业学者，以不同的角度介绍了卡塔兰猜想的历史与证明历程.
本书可供大、中学生及数学爱好者阅读和收藏.
【目 录】
第1章 Catalan猜想与竞赛试题 // 1
1.1 引言 // 1
1.2 与Catalan猜想有关的竞赛题 // 5
1.3 利用Catalan猜想编拟的竞赛训练题 // 10
1.4 几个集训队试题 // 16
1.5 关于Catalan猜想的一些进展 // 23
第2章 Catalan猜想面向中学生的历史简介 // 28
2.1 问题的历史 // 29
2.2 某些预备结论 // 30
2.3 CasselsNagell定理 // 32
2.4 论问题M2032 // 33
2.5 反素数 // 35
第3章 Catalan猜想面向专业人士的证明综述 // 36
3.1 引言 // 36
3.2 早期和随后的历史 // 38
3.3 Cassels和情形Ⅰ // 40
3.4 有可能用计算机来解决这一问题吗？ // 42
3.5 Wieferich对 // 44
3.6 起关键作用的零化子 // 47
3.7 特殊的零化子 // 49
3.8 Catalan猜想的证明概述 // 52
3.9 Mihaǎilescu定理 // 54
3.10 再回到零化子 // 56
3.11 最后，一个矛盾 // 59
3.12 结束语 // 60
附录Ⅰ p=2时的Catalan方程 // 61
附录Ⅱ Cassels定理 // 67
编辑手记 // 77
【编辑手记】
写过长篇小说《解密》、《暗算》、《风声》的作者麦家曾指出：
有一位名人曾经说过“所有的文艺都是从好玩开始的”.我们不能失去好玩的东西，写作也是这样，首先还是带着好玩的心态，你不能带着强硬的要求.我这个作品就是想给你一个正确的人生观，那没有哪个读者跟你走的，你必须寓教于乐.首先让读者喜欢你，达到他的精神层面上，甚至一种游戏的精神，一种游戏的乐趣.然后在游戏的享乐过程中，让他有所感悟，这才平等.（胡野秋著《六零派文学对话录》商务印书馆，2012年，北京）
相信大多数人开始对卡塔兰猜想感兴趣也是从好玩开始的：32-23＝1，两个自然数的幂相差1，只有这一对！怎么可能！于是业余人士都会做大量具体数值计算去验证.而懂些数论的便从初级到高级地试用各种数论工具以求证明，从初等数论到解析数论再到代数数论.最后被罗马尼亚出生的瑞士数学家Mihǎilesku证明了.
他的证明用到的都是些已知东西的新组合.如Wieferich对.很多东西其实就是一个新组合方式.1907年，上海中西大药房董事长周邦俊医师参考《中华药典》一书，以酒精加上玫瑰、茉莉等多种花香精调配而成花露水.由化妆品部门销售，这就是“明星”牌花露水，在抗战胜利后，销量达一千万瓶，并在上海证券交易所挂牌上市.
特别有意思的是Mihǎilesku并不是圈内被认为攻克该难题的热门人物，他甚至还一度远离数学涉足机械工业和金融工程领域.但他是一个有梦想的人.
《经济观察报》评论员启越在“正在消失的中国梦”中指出：
一个有“梦”的社会，必定会给人以希望，充满活力，我们完全可以接受“一个人一生为之奋斗的，恰恰是另一个人与生俱来的”所隐含的不平等.也能体味出那句“我奋斗了18年才和你坐在一起喝咖啡”中的几多辛酸.
曾几何时，中国也有许多在数学领域的追梦人.但在现实的重压和世俗成功的单一目标下放弃了追逐.雨打风吹下只剩众多“民科”在做无谓的奋斗.易被金钱绊住的不光是小人物，大人物也都经历过.1949年夏天，杨振宁到美国普林斯顿高等研究所担任研究员，由于当时科研人员收入较低，所以他为了赢取5万美元的奖金参加了一个填字比赛.在即将取得胜利之际，他无意中看到了《纽约时报》头版刊登的《日本汤川秀树获得物理学诺贝尔奖金》的新闻，心似遭受电击，下定决心再也不能偏离正确的人生轨道，被那些微不足道的利益蒙蔽，才有后来的800万诺奖（虽然由于欧债危机的影响，诺贝尔奖奖金数额将削减两成，从1 000万瑞典克朗降为800万瑞典克朗，但它依然是全球奖金最高的奖项）.所以要想成功首先不要迷失方向.因为能成功之人大多能量都很大，也就是易沉溺.比如，1921年8月，胡适就对其友郑莱说，“我没有嗜好则已，若有嗜好，必沉溺很深.我自知可以大好色，可以大赌.我对于那种比较严重的生活，如读书作诗，也容易成嗜好，大概也是因为我有这个容易沉溺的弱点.”
本书适合什么人读呢？首先应该是那些数学奥林匹克的教练员们.因为他们不仅要知道题目怎么解，还应该知道题目是怎么被编出来的.也就是说要知道背景才行.另外一类读者应该是有求知欲的读者.房地产商任志强办了一个读书会，他说：“知识爆炸的时代里最难的是你选什么样的书读.”他还说：“觉得越是知识爆炸，越得阅读，你要是越不阅读，就得落在后面.”
还有一类就是书痴，他们会购买一切自己感兴趣的书.不论是否有用，不论新旧，不论贵贱，不惜财力，这些不与时俱进的人是这个世界上为我们保留下来的读书的种子.
被誉为民国第一号“书痴学者”的黄侃在他月薪仅为294元的时候就一次性耗资430元购买了一套《四部丛刊》2000余册.更甚的是，他曾一次斥1600元巨资购买《道藏》而毫不心疼.他在一首诗中写道：“十载仅收三万卷，何年方免借书痴？”
这样的人现在还有木有？
刘培杰
2013年4月28日
于哈工大