【内容提要】
本书共分3编23章：上编庞加莱与庞加莱猜想；中编三维空间与拓扑学；下编面向大众的拓扑学描述。详细阐述了庞加莱猜想从提出到解决的全过程以及相关的数学专业理论。
本书适合于高等学校数学及相关专业师生使用，也适用于数学史爱好者。
【目 录】
上编 庞加莱与庞加莱猜想
引言 庞加莱猜想获证
1 庞加莱猜想的历史与解法
2 格里戈里•佩雷尔曼
3 朱熹平
4 曹怀东
5 丘成桐
6 菲尔兹奖
第一章 最后一位通才——庞加莱
第二章 庞加莱和数学
1 庞加莱和数学4l
2 数学的未来
3 数学的创造
4 数学和逻辑
第三章 庞加莱的数学贡献
1 函数论
2 Abelian函数和代数几何（学）
3 数论
4 代数学
5 微分方程和天体力学
6 天体力学
7 偏微分方程和数学物理
8 代数拓扑
9 数学基础
第四章 庞加莱与米塔-列夫勒
1 接触
2 创建数学学报
3 奥斯卡二世奖
4 诺贝尔物理奖
第五章 法国在数学发展中所起的作用
1 优秀的传统
2 克莱洛的贡献
3 拉格朗日与达朗贝尔
4 法国在数学中的优越性
5 开创新方向
6 光辉灿烂的纪念碑
7 法国数学的光荣
第六章 九十九年后的庞加莱猜想
1 最初的失误
2 高维情形
3 Thurston几何化纲领
4 微分几何方法和微分方程方法
第七章 庞加莱猜想可能已被证明
第八章 数学界对庞加莱猜想的疑似证明众说纷纭
中编 三维空间与拓扑学
第九章 空间为什么有三维？
1 “拓扑学”和连续统
2 连续统和截量
3 空间和感觉
4 空间和运动
5 空间和自然界
6 “拓扑学”和直觉
第十章 三维流形
庞加莱猜想
第十一章 三维空间里的拓扑等价关系
1 拓扑等价关系
2 表面的分类
第十二章 什么是拓扑学
1 克莱因的定义
2 位置与拓扑
3 曲面的同胚问题
4 近百年来发展的两个方向、基本群
5 贝蒂群
6 康托的集合论
7 一般拓扑学
8 布劳威尔
9 抽象代数学方法
10 几个显著的成果
第十三章 低维拓扑学
1 什么是低维拓扑学
2 早期的低维拓扑学
3 20世纪60年代和70年代的组合3维拓扑学
4 瑟斯顿对曲面的研究工作
5 3维流形上的几何结构
6 极小曲面的应用
7 单连通闭4维流形的分类
8 4维光滑流形拓扑
9 纽结的Jones多项式和wi吐en的工作
第十四章 从网络理论到拓扑学
第十五章 基本群和同调群的直观描述
1 引言
2 道路的同伦类
3 基本群
4 同调群的直观描述
5 闭链、边缘链和同调群
第十六章 佩雷尔曼和俄罗斯拓扑学传统
下编 面向大众的拓扑学描述
第十七章 面向大众的拓扑学描述
1 塞吉•朗关于拓扑学的演讲
2 第二小时演讲
3 第三小时演讲
第十八章 漫谈拓扑学
1 拓扑学的对象
2 最简单的拓扑不变量
3 曲面的拓扑学
4 抽象几何学
5 关于曲线概念
6 维数
7 基本群
8 同调群
9 同调理论的某些应用
第十九章 曲线是什么
1 曲线概念的发展39l
2 点集论中的一些知识
3 康托曲线
4 曲线的一般定义
5 关于维度的概念
第二十章 直觉的讨论
1 拓扑学的主要问题
2 闭曲面
3 同痕，同伦，同调
4 多维流形
第二十一章 希尔伯特谈拓扑
1 多面体
2 曲面
3 单侧曲面
4 作为闭曲面的投影平面
5 有限连通度曲面的标准形式
6 将曲面映成自身的拓扑映射，不动点，映射类，环面的汛覆盖曲面
7 环面的保角映射
第二十二章 神奇的二维国
1 关于这个国家
2 一维国和三维国
第二十三章 生活空间的维度
1 维度数学
2 心理环境的维度
3 个体维度的问题
4 生活空间在现实性一非现实性维度上的分化
附录
附录I 庞加莱，杰出的数学家、科学家和科学哲学家
附录Ⅱ 预备知识
附录Ⅲ 结构思想十七讲
附录Ⅳ Manifolds with Density and Perelman's Proof ofthe PoineaeConjecture
附录V 下个世纪的数学问题
附录Ⅵ Poineare猜想和三维流形分类的近期进展
附录Ⅶ 丘成桐先生在晨兴数学中心的演讲
附录Ⅷ 几何分析
附录Ⅸ The Exeerlas from the Geometric Topology of 3-Manifdds
附录X How Famous Can a Function Theorist Be
附录Ⅺ 陶哲轩怀念威廉•瑟斯顿
附录Ⅻ 瑟斯顿与低维拓扑
编后语
【编 后 语】
这是一个法国人提出的猜想的证明历程.法国人有时候是讨厌的，但是他们有一些格言警句，那是非常可爱的.比如这一句——“吃是为了肉体，喝是为了灵魂.”在此传统之下，红酒拉菲行遍世界，走红中国.法国人的重精神轻物质的民族特性体现在科学上便是数学家多，提出的数学猜想多.本书便是法国数学家庞加莱提出的一个世界著名猜想被征服的历史.
这样一部洋洋百万字的“大书”，谁会去读呢?
菲尔兹奖得主日本著名数学家小平邦彦在1988年5月28日举行的学习院大学全校报告会作了题为“数学之难以想象”的报告.他说许多人或者因为不喜欢数学而弄不懂它，或者因为弄不懂而不喜欢数学.对于不喜欢数学的人来说，数学似乎是一门暧昧模糊不知所云的奇妙学问，假如做个民意测验，大多数意见无疑将是“数学是暧昧模糊不知所云的学问”.
这本书首先是献给喜欢数学的人，让他们透过猜想懂得更多的数学，其次是要兼顾到那些因为弄不懂数学而不喜欢数学的人.
有人说：从教师的角度看，寻找最好的学生，得天下英才而教之，是人生中的最大幸福；对优秀的学生而言，有机会在名校向大师问学，那也是一件相当惬意的事情：两者相向，便是所谓的机缘.从编者的角度看，寻找最好的读者，将书送到他们手中是莫大的幸福；对热心读者而言，在想读书的时候能及时得到相应的读物也是一件相当惬意的事：两者相向，也是一种机缘.
这本书的主要读者应该是大学师生，但不幸的是大学现在越来越将拓扑学这样的学问边缘化，而且大学越来越中学化，知识越来越碎片化.面对大学毕业生质量越来越不敢恭维的局面，有人对如今的“大学”进行了两种解释：一是大家一起来上学，你想上就有学校给你上(招生扩大化)；二是大致地学一下(学习内容浅显，将高深冷僻学问边缘化).冯友兰先生曾主张：“一个大大学中，必须有许多很冷僻底学问.因为他是要包罗万象，而有许多学问，无论在何时何地，都是冷僻底，然而维持这些学问的研究，正是大大学的责任.”(《三松堂全集》，第五卷，458页)
这本书注定是一本不畅销的小众图书，在全社会都在瞩目畅销书的今天，它实属异类，但我们希望宽容它.有一篇文章中说：宽容异类，善待异见，就是时代最大的进步.数字出版已能做到个性化定制，出版社为某个特定客户可以只出一本书.有一天，人们甚至希望也能定制属于个人的生活，只要代价不太高.当社会的长尾理论盛行，异类将成为常态.
为异类留有空间，为物种留有多样性，因为说不定哪天他们就是幸存者或拯救者.佩雷尔曼和哈密尔顿都是数学界的异类.他们之所以成功，原因之一也是因为他们是异类.
目前在中国，佩雷尔曼知名度非常低，但在中国人知晓的苏联数学家中还有一位也叫Perelman.他是上两个世纪的人，1882年12月17日生于别洛斯托克，1909年毕业于彼得堡林学院.
这位佩雷尔曼是数学教育家，曾任《自然与人》、《奇妙的自然界》等杂志的主编.他写了大量的科普小品及50多本趣味数学方面的书，为中国读者熟悉的有《趣味算术》、《趣味代数》和《趣味几何》等，他于1942年3月16日逝世.
宣传佩雷尔曼这个人物对今日中国有特殊意义.在18世纪博物学家、作家怀特书信体写成的博物记《塞耳彭自然史》的序言中，19世纪的格兰特·艾仑(怀特专家)曾写下这样一句话：“那时候的时间，还不是金钱，而是享受、修养和自我发展的机会.怀特正是怀着尊严和不枉度生命的感觉，这样花去他的时间的.而在我们狼奔豕突的现代社会，这样的日子，已故如烟云.”
佩雷尔曼同证明了费马大定理的怀尔斯一样都是沉寂多年，苦心求索，而不是整天关心SCI及博士生导师称号的学术庸人.
在这个数学家淡出，企业家凸显的时代，像佩雷尔曼这样的隐士数学家实在是少之又少.不过，正因为稀少，才显示出其可贵的价值.
本书的编写动力是受到关于庞加莱猜想证明的优先权之争的国际口水战的吸引而产生的.优先权之争数学史上很多见.最著名的牛顿与莱布尼兹的微积分优先权之争导致了英国数学界与德国数学界长达一个世纪的隔断.争来争去并没有一个明确的结果.
本书乍看似重数学技巧然实则宣扬数学文化.被誉为大时代边上的雅士、文艺范儿的“活化石”的木心说：“我们这个时代收获的是科技，失落的是文化；收获的是物质，失落的是精神.”
相对我们急吼吼地宣称对庞加莱猜想进行了最后的“封顶”而国际社会以集体失声表示漠然，佩雷尔曼反倒是在国际数学界及媒体赞赏声一片中选择了隐居.用牛津大学的DuSautoy教授的话说：“他有一点使自己疏离于整个数学界.”
就严格意义而言，本书编者纯属拓扑学外行，从未在专业刊物上发表过一篇专业文章.但用现代时髦的语言说编者同时又是一个“数学猜想控”与“庞加莱癖”.明代人张贷说：“人无癖，不可与交，以其无深情也.人无疵，不可交，以其无真气也.”很多作家都是有怪癖的，比如纳博科夫一定要在三英寸宽，五英寸长的纸片上写作；济慈要穿上最好的衣服才能写出诗；萨克雷必须在家以外方能才思如泉涌；蒲柏需要炷苹果的腐朽气味激发灵感.在数学界有许多被称为“庞加莱癖”的受害者，《数学译林》中曾有专文介绍过，不妨罗列几位于后.
WolfgangHaken(1928— )和Valentin Poénaru都是普林斯顿研究院(IAS)的欧洲移民（W.Haken于1963～1965年在IAS, V Poénaru于1964～1965年在IAS) Poénaru来自罗马尼亚，Haken则是受到传统的德国教育，他以前是研究纽结理论的，但是他的成果不被关注，不仅因为几百页难读的论文，而且它的非代数方法并不是当时的主流.Haken说：“我不知道这已经过时了，”并补充说：“你知道得越多，你就有越多的先入之见.如果你知道得太多了，那就不再有用了.”1963年，他的妻子，也是一位数学家，建议他转身庞加莱猜想的研究，在看了Papa的工作后，Haken认为此猜想“立刻就有可能被证明”.
这两个人都不知道另一个人在攻庞加莱猜想.1964年，当Poénaru宣布他已经证明了庞加莱猜想时，Haken正在西德作学术报告，当他听到这个消息后立刻把自己锁在一间房间里，将其证明整理出来并且对外宣布了证明，后来，这两个人有了交流，发现他们的证明几乎是一样的，而且所犯的错误也是一样的，这样，他们两人就成为Haken所称之为“庞加莱癖”的受害者.
直到20世纪70年代，Haken仍然认为他可以证明猜想，他说：“开始的十年十分有趣，因为每当我觉得有一个好想法可以证明庞加莱猜想时，这就意味着我必须花另一年的时间去找到为什么这是行不通的，最后我失去了信心，这不是生活.”1973年，Haken开始研究另一个著名问题“四色猜想”来治疗他的“庞加莱癖”.4年后，他与同事Ken Appel(1932—）利用大型电子计算机证明了这个猜想，他曾发誓说“我不会再回去了”，然而又有所保留地补充“除非是要找到庞加莱猜想的一个反例”.
至于Poénaru，他在1987年宣布了一个证明庞加莱猜想的120页的提纲，据他说是1∶20的缩放比例，也就是说详细的证明需2 400页，甚至这份专业的提纲也没有引起任何反响，他说：“没有杂志愿意发表这么长的论文，除非已经确定它真正证明了庞加莱猜想.”
直到2006年12月19日，V. Poénaru在网上（ax Xiv)贴出了他的预印本，宣布他已用他自己的方法完成了细节，最终证明了庞加莱猜想.
V. Poénaru出生于罗马尼亚，在布加勒斯特大学读大学本科，1962年他是斯德哥尔摩数学家大会的邀请报告人，其时他申请政治庇护而到了法国，1962年他在巴黎大学获得博士学位，他的导师是著名数学家Charles Ehresmann.
1980年以前，大多数的拓扑学家以为用经典的方法攻击庞加莱猜想将是无果的.Freedman也卷入其中.Michael Hartley Freedman是美国著名数学家，1951年4月21日出生于洛杉矶，1973年他在William Browder指导下在普林斯顿大学获得博士学位；1982年由于其四维庞加莱猜想的证明而获得菲尔兹奖.他还获得过MacArthur Fellowship、Sloan and Guggenheim Fellowship、美国国家科学奖，他当选为美国国家科学院、美国艺术和科学院院士和纽约科学院院士.现在他在微软Q工作站（Microsoft Station Q)工作.就是如此优秀而强有力的人物也认为他没有足够强有力的想法去取得成功.Freedman说：“如果我有了哪怕一点想法，我都会把所有其他的事都抛于脑后.”大多数拓扑学家都相信，如果有朝一日猜想被证明，那么解决者不是Thurston就是一个未被传统方法洗过脑的非常年轻不知名的数学家.
1983年Freedman利用牛津大学研究生Simon Donaldson的工作证明了必定存在两个四维流形.Donaldson是从理论物理中借用的技术，就此Freedman形容说：“似乎有一种离奇的东西与流形联系着.”
自从1904年庞加莱猜想提出以来，很多数学家宣称他们解决了这个猜想，但是无一例外地后来在其证明中发现了错误，英国数学家怀特黑德（John whitehead，1904—1960)在1934年发表了一个证明，这是自庞加莱自己的证明之后的第一个公开的证明，一年后他自己发现了错误，于是发表了一个更正，第二年他撤回了这个证明.
普林斯顿高等研究院的希腊数学家Christos papakyriakopoulos (1914—1976)（人们都称他为papa)一生致力于证明庞加莱猜想，这位著名的拓扑学家曾在1956年的一天宣布了拓扑学中3个著名定理的证明：Dehn引理、球面定理和环路定理.papa终生未婚，一直住在只有一间房间的公寓里，他为了有充裕的时间研究庞加莱猜想而拒绝出席晚宴的邀请；拒绝去教课，以至于没有获得终身职位.1976年，papa去世后，人们发现他的一部160页手稿，这是一个庞加莱证明猜想和分类所有三维流形的计划，在其中一页的上方写着“引理14”，下面是空白的，Stallings说：“他打算回到此处补充上证明，但他始终未做.”
Andrew Conner是Auburn大学的数学家，他也是庞加莱癖.他在1960年代后期开始不懈地研究庞加莱猜想.有好几次他认为已经完成了证明.就在1984年因为癌症去世前的几个星期，他又宣布了一个证明，并把Haken和其他4位数学家叫到病床前听他讲解证明细节.证明分3步，Haken检查了前两步，第3步似乎有问题，Haken说：“我认为这一步没有通过去”，但是当时Conner已经病得无力与他讨论这些问题了.
下一个庞加莱猜想的证明是不是会被接受，看来取决于这个人做数学的态度.Rourke的一个学生Will Kazaz说：“如果Thurston说他证明了猜想并把它写在一张纸上，人们会不相信它并急着去读它；如果Gabai说他证明了庞加莱猜想，人们也会相信它，但很不情愿去读他的证明，这是个信誉的问题，如果他证明了一个著名的问题，那么人们会读他的证明，但是如果你只是一个一般的数学家，假如你的头20页写得很精彩，并有一些新东西能吸引读者，他们会去读，否则……”
Colin Rourke是英国Warwick大学的数学家，1966年在英国剑桥大学获博士学位.他从1968年起一直在Warwick大学任教，他身材高大，为人友善；在毕业之初是一个进取的有希望的拓扑学家.1985年3月，他的35岁的博士后Eduardo Régo给当时44岁的他一个定理的证明，Rourke发现这个定理可以直接导致庞加莱猜想的证明.1986年2月，他们确保已经可以给出庞加莱猜想的证明，并且也是这么对外宣称的.数学家的反应从冷嘲热讽到谨慎的乐观都有，不过甚至在认为证明可能是正确的人中，Rourke也没有受到欢迎，他们认为如果一个人的想法不好的话，他就完不成庞加莱猜想的证明.
1986年11月，当Rourke到达伯克利时，他的证明已经作了两处修改，他自己由于受到Haken的苛刻的逻辑观点检验发现了一处错误，Haken发现了另一处，所以证明看来还不宜公开.
Rourke为了减轻压力开始和Warwick大学的另一位数学家Ian Stewart合写文章.Stewart也是一位科普作家，在《卫报》和《自然》杂志上写过文章.两人一块在《新科学家》上写了一篇动人的长篇文章（据Stallings这个直言不讳的人说，他觉得Stewart这样做的目的是为数学弄出点动静来，为了让政府拨款，数学虽然比较枯燥，但花钱却不多，所以政府应该给钱）.
由于这些，《纽约时报》称Rourke认为，他的证明“简单明了”，如果说许多数学家不读他的证明，那是因为他们很懒.Rourke后来回忆说：“我当时十分有信心，巴不得有一个请我去作报告的邀请.”
许多数学家都不打算参加伯克利的讨论班，伯克利的数学家Stallings只去了一次.他说：“目的只有一个，做个心理诊断，看看Rourke是不是疯了.”同时数学家们也担心讨论班的规定：只要在讨论班的5天内找不出错误，Rourke就可以带着他的证明班师还朝了.
普林斯顿大学的拓扑学家，低维拓扑和双曲几何领域的领军人物David Gabai从一开始就参加了讨论班.Gabai于1980年在William P. Thurston指导下在普林斯顿大学获博士学位，他是1990年东京世界数学家大会的邀请报告人.2004年他获得美国数学会颁发的几何学Veblen奖.讨论班前两天进行得比较平和，第3天，Gabai发现“Rourke在手稿中写的和他在讨论班所讲的完全不一样”.第四天，Gabai和一位英国数学家Cusson发现了问题.Cusson原在Cambridge大学任教.后来因为不愿意发表自己的论文而离开了Cambridge大学.随后来到伯克利大学，他本人也数次攻过庞加莱猜想而未果.但是他说，他知道为什么他攻这个问题不奏效.而这正可用来指出他人证明中的漏洞.Gabai和Cusson发现为了绕过Haken的证明中的死胡同，Rourke添加了一种叫标记分裂瀑布（tugbreakingcascude)的技术.Gabai和Cusson都不相信它，当天下午Cusson就证明中可疑部分的一张图提了一个问题，Rourke给了看似可靠的一个回答，过了一会，Gabai又让他解释另外一个问题，Rourke看了一会说“但是我们已经分开了瀑布”，“不！你没有分开，你只能分裂标记，但这是一个伪标记，或者是一个别的什么东西.”
这个错误应该是Haken在6个月前指出的一个错误的翻版.当时Rourke以为他解决了它.最后一天早上，Rourke最终宣布证明失败，他承认自己“有点失落和灰心”.讨论班主持人Robion Kirby总结说：“庞加莱猜想是一个孤注一掷的命题，或者你得到全部，或者你什么也得不到，如果说Rourke是一个攀登者，那么他已经死去.”
讨论班后的第二天，Gabai用计算机给他的导师Thurston发了一份电报，其标题是“庞加莱猜想遭到了核攻击！”.
直到1986年12月，Rourke感到他仍然能证明庞加莱猜想，他说：“这个问题十分诱人，证明被归结为一些奇妙的技术细节.Kirby是对的，除非每个细节都写下来，否则什么也得不到.”
当然这些得了庞加莱猜想癖的人在一般的新闻上是绝对难以见到的.
就在前不久，美国《华盛顿邮报》的两名记者多尼(Leonard Downi Jr.)和恺撒(Robert G.kaiser)写了一本书，名为《关于新闻的新闻：美国新闻的危机》，其中写道：“新闻界的许多人以为，在这个空前繁荣及安定的时代，美国人宁愿要被娱乐，而不要被告知.这种态度已影响了电视的新闻秀和许多报纸.它引诱着新闻界将严肃新闻推开，并使得耀眼有如通俗剧的新闻大行其道.举国迷恋名人这种新闻已影响到新闻业，也使得许多新闻人抢着想去变成名流.”但这里所说的名人完全不包括科技名人.在1898年美国选中学生最崇拜的人物时，还没有演艺人员，到了1948年再作类似调查，演艺明星占了14%，而到了1986年再作调查，排名前10的全都出身演艺圈，连爱因斯坦这样赫赫有名的大众知晓的科学家都排不上，更何况相对小众的数学家了.
本书中出现的这些人物在笔者眼中是耀眼的群星，而在普遍民众眼中根本不具娱乐价值，所以在国内除《科学时报》进行了几次深度报道外，其余的媒体仅热闹了一阵便默默无闻了.
闲暇之余，读读数学科普是一件很美好的事，而许多美好的享受都需要相应的环境配合.明末的江南，文人雅士喝茶时，光是饮茶的场合就要讲究：“心手闲适，披咏疲倦，意绪棼乱，听歌拍曲，歌罢曲终，杜门避事，鼓琴看画，夜深共语，明窗净几，洞房阿阁，宾主款狎，佳客小姬，访友初归，风日晴和，轻阴微雨，小桥画舫，茂林修竹，