【内容简介】
本书提供了俄罗斯在中学，其中包括在专门化的学校学习的几乎所有立体几何的问题及各题的提示.
本书适用于大学、中学师生和数学奥林匹克选手及教练员参考阅读.
【序 言】
本书同前面出版的书《平面几何问题集》和《代数、算术和分析问题集》一起，组成为了物理一数学班级学习的联合的数学问题集. 在这些书中实际上提供了在学校供专门的班级学习的全部数学内容.本问题集的根据是由《量子》杂志的问题，在不同时期提供的数学奥林匹克问题，数学竞赛试题库和数学小组中的问题汇集编成.
本书和前两本书一样，也照例给出了详尽的栏目.问题分为22章，每章中由若干节组成.分类的根据是通常的解题方法，但在许多情况下不得不按外部特征来叙述.这种详尽分类法的主要目的一一在于帮助读者在这样大的问题集中检索目标.书后提供了详细的名词索引，也是为此目的服务的.
在解立体几何问题时经常利用平面几何的某些事实.在引用这样的事实时指出了对应的问题在《平面几何问题集》（M：МЦНМО，2007）一书中的编号.
本书和上面提到的两个问题集的电子文稿在因特网中可以找到，地址http: // www.mccme.ru/ prasolov/ . 在电子文稿中将改正过显著的错误和印错的字.
【目 录】
第1章 空间中的直线和平面/1
§1 直线与平面相交/ 1
§2 异面直线之间的角/ 2
§3 直线与平面之间的角/ 2
§4 同直线和平面形成等角的直线/ 3
§5 异面直线/ 5
§6 空间的毕达哥拉斯定理/ 7
§7 坐标法/ 9
第2章 射影、截面、展开图/ 13
§1 辅助射影/ 13
§2 三垂线定理/ 15
§3 多边形射影的面积/ 16
§4 关于射影的问题/ 18
§5 辅助截面/ 19
§6 关于截面的问题/ 21
§7 辅助展开图/ 21
§8 关于展开图问题/ 24
第3章 体积/26
§1 四面体和棱锥的体积/ 26
§2 多面体的体积/ 28
§3 圆体的体积/ 29
§4 体积的性质/ 31
§5 体积的计算/ 33
§6 辅助体/ 34
§7 表面积.果尔刚定理/ 37
第4章 球/39
§1 公切线的长/ 39
§2 球的切线/40
§3 在一个球上的两个相交的圆周/41
§4 相切的球/43
§5 球之间的角/44
§6 不同的问题/44
§7 球带的面积和球缺的体和/46
§8 根平面/49
§9 极点和极面/51
第5章 空间多边形/55
§1 空间四边形边的中点/55
§2 空间四边形/55
§3 广梅涅劳斯定理/56
§4 各种问题/57
§5 外切多边形/61
§6 正交的三角形/ 64
§7 正交的四边形/65
第6章 三面角和多面角/67
§1 极三面角/67
§2 有关三面角的不等式/ 68
§3 正弦定理与余弦定理/ 69
§4 不同的问题/ 70
§5 多面角/ 73
§6 塞瓦定理与梅涅劳斯定理/ 76
第7章 球面几何/ 82
§1 圆周/ 82
§2 球面三角形/ 85
§3 托勒密定理/ 92
§4 球面多边形面积/ 93
§5 点的轨迹/ 94
§6 球带角/ 95
§7 凸多边形/ 96
§8 根轴/ 97
第8章 四面体/100
§1 四面体的中线和双中线/ 100
§2 四面体的性质/ 101
§3 正四面体/ 106
§4 具有专门性质的四面体/ 107
§5 直角四面体/ 109
§6 等界面四面体/ 112
§7 垂心四面休/ 118
§8 构架四面体/ 122
§9 四面体的添加/ 123
§10 蒙日点/ 125
§11 等角共轭/ 126
§12 垂足四面体/ 128
§13 欧拉直线/ 129
§14 12点球面/ 130
§15 正交四面体/ 131
§16 勒穆瓦纳点/ 132
第9章 棱锥和棱柱/135
§1 正棱锥/ 135
§2 任意棱锥/ 135
§3 棱柱/138
第10章 轨迹与作图/140
§1 异面直线/ 140
§2 球面与三面角/ 142
§3 各种轨迹/ 145
§4 辅助的轨迹/ 146
§5 在变换中作图/ 147
§6 与空间图形联系的作图/ 149
第11章 向量/151
§1 向量最简单的性质/ 151
§2 标量积. 关系式/ 152
§3 标量积. 不等式/ 156
§4 向量的线性相关/ 157
§5 各种问题/159
§6 向量积/161
§7 公垂线方程/166
§8 凸线性组合/ 168
§9 均值法/ 170
第12章 几何变换/175
§1 平移/175
§2 关于点的对称/ 176
§3 关于直线的对称/ 177
§4 对称轴/ 177
§5 关于平面的对称/ 178
§6 对称平面/ 180
§7 位似/ 181
§8 绕直线的旋转/ 184
§9 变换的合成/ 185
§10 运动的分类/ 186
§11 光射线的反射/ 188
第13章 凸多面体/190
§1 凸性的定义/ 190
§2 各种问题/ 192
§3 非内切性和非外接性的准则/ 196
§4 欧拉公式/ 198
§5 多面体环路/ 201
§6 多面体的射影/ 204
§7 配极多面体/ 206
§8 关于凸多面体刚性的柯西定理/ 208
第14章 正多面体/210
§1 基本性质/ 211
§2 相互联系/ 216
§3 对偶正多面体/ 217
§4 射影和截形/ 218
§5 自身结合的正多面体/ 222
§6 各种定义/ 225
第15章 几何不等式/ 227
§1 长和周长/ 227
§2 角/ 233
§3 面积/ 237
§4 体积/ 240
§5 各种问题/ 243
第16章 最大值与最小值问题/246
§1 端点在异面直线上的线段/ 246
§2 面积和体积/ 248
§3 距离和半径/ 250
§4 各种问题/ 253
第17章 问题解决的某些些方法/255
§1 极端性原则/ 255
§2 边里赫勒原理/ 258
§3 在空间的出口/ 261
第18章 质量中心. 转动惯量. 重心坐标/268
§1 质量中心和它的基本性质/ 268
§2 转动惯量/ 273
§3 重心坐标/ 276
第19章 各种问题/281
§1 例和反例/ 281
§2 整数点阵/ 286
§3 组合分析/ 292
§4 点组和图形/ 295
§5 切割/ 296
§6 染色/ 299
第20章 反演和球极平面射影/301
§1 反演的性质/ 301
§2 作反演/ 304
§3 切球的组成/ 307
§4 圆锥/ 310
§5 球极平面射影/ 310
第21章 二阶曲面(二次曲面)/314
§1 圆锥和圆柱的截面314
§2 直圆锥/315
§3 任意圆锥317
§4 椭球面/ 318
§5 单叶双曲面和双曲抛物面/320
§6 轨迹/ 325
§7 二次曲面的性质/ 326
§8 二次曲面的分类/ 326
第22章 仿射与射影变换/328
§1 仿射变换/ 328
§2 中心射影/ 329
§3 射影变换/ 330
名词索引/ 333