【内容提要】
本书是根据苏联国立技术理论出版社于1953年出版的甘特马赫尔所著的《矩阵论》来译出的，本书分上、下两册，下册为原书第二部分，包括：复对称、反对称与正交矩阵、奇异矩阵束、非负元素所构成的矩阵、特征值的正则性的各种判定与局部化、矩阵论对于线性微分方程组研究的应用、路斯-胡尔维茨问题及其相邻近的问题、特征数与奇异数的不等式等内容.
本书可供高等院校本科生、研究生、数学及物理科学研究人员和工程师参考之用.
【目 录】
第11章 复对称，反对称与正交的矩阵 ∥1
§1 关于复正交矩阵与U-矩阵的一些公式 ∥1
§2 复矩阵的极分解式 ∥5
§3 复对称矩阵的范式 ∥7
§4 复反对称矩阵的范式 ∥9
§5 复正交矩阵的范式 ∥14
第12章 奇异矩阵束 ∥19
§1 绪言 ∥19
§2 正则矩阵束 ∥20
§3 奇异矩阵束，化简定理 ∥23
§4 奇异矩阵束的范式 ∥28
§5 矩阵束的最小指标，矩阵束的严格等价性判定 ∥30
§6 奇异二次型束 ∥32
§7 对于微分方程的应用 ∥36
第13章 非负元素所构成的矩阵 ∥40
§1 一般的性质 ∥40
§2 不可分解非负矩阵的谱性质 ∥42
§3 可分解矩阵 ∥52
§4 可分解矩阵的范式 ∥60
§5 本原矩阵与非本原矩阵 ∥64
§6 随机矩阵 ∥68
§7 关于有限多个状态的齐次马尔可夫链的极限概率 ∥72
§8 完全非负矩阵 ∥80
§9 振荡矩阵 ∥85
第14章 特征值的正则性的各种判定与局部化 ∥93
§1 阿达玛正则性判定及其推广 ∥93
§2 矩阵的范数 ∥96
§3 阿达玛判定向分块矩阵的推广 ∥99
§4 费德列尔正则性判定 ∥100
§5 格尔什戈林圆与其他的局部化区域 ∥101
第15章 矩阵论对于线性微分方程组研究的应用 ∥106
§1 有变系数的线性微分方程组的一般的概念 ∥106
§2 李雅普诺夫变换 ∥109
§3 可化组 ∥111
§4 可化组的范式，叶鲁金定理 ∥113
§5 矩阵积分级数 ∥116
§6 乘积积分，沃尔泰拉的微积分 ∥120
§7 复区域上微分方程组的一般性质 ∥124
§8 复区域上的乘积积分 ∥126
§9 孤立奇点 ∥129
§10 正则奇点 ∥135
§11 可化解析组 ∥148
§12 多个矩阵的解析函数及其在微分方程组的研究中的应用——伊·阿·拉波-丹尼列夫斯基的工作 ∥151
第16章 路斯-胡尔维茨问题及其相邻近的问题 ∥154
§1 绪言 ∥154
§2 柯西指标 ∥156
§3 路斯算法 ∥158
§4 特殊情形的例子 ∥163
§5 李雅普诺夫定理 ∥166
§6 路斯-胡尔维茨定理 ∥170
§7 兰道公式 ∥176
§8 路斯-胡尔维茨定理中的特殊情形 ∥178
§9 二次型方法，多项式的不同实根个数的确定 ∥181
§10 有限秩的无限冈恰列夫矩阵 ∥183
§11 用其分子与分母的系数来定出任一有理分式的指标 ∥186
§12 路斯-胡尔维茨定理的第二个证明 ∥194
§13 路斯-胡尔维茨定理的一些补充，列纳尔与希帕尔的稳定性判定 ∥198
§14 胡尔维茨多项式的一些性质，斯蒂尔吉斯定理用连分式表出胡尔维茨多项式 ∥202
§15 稳定性区域，马尔可夫参数 ∥208
§16 与力矩问题的联系 ∥212
§17 胡尔维茨行列式与马尔可夫行列式之间的联系 ∥215
§18 马尔可夫定理与切比雪夫定理 ∥217
§19 广义的路斯-胡尔维茨问题 ∥224
第17章 特征数与奇异数的不等式 ∥227
§1 强数列 ∥227
§2 诺伊曼-霍尔诺不等式 ∥231
§3 魏尔不等式 ∥234
§4 埃尔米特算子特征数之和与乘积的最大、最小性质 ∥237
§5 算子之和与乘积的特征数与奇异数的不等式 ∥243
§6 关于埃尔米特算子之和与乘积的谱问题的其他提法 ∥245
注解 ∥252
索引 ∥259
编辑手记 ∥261
【编辑手记】
国人多喜宏大高阔之辞，笔者偏爱细微私家碎语.先介绍一下本书与笔者的一些琐事.冯小刚曾说，他在看了刘震云的小说《温故一九四二》后17年才拍了影片《一九四二》，而对本书则是23年.笔者最早知晓本书是在1990年，当时笔者准备去华东师范大学读助教进修班，目地是拿一个学位（尽管后来没拿成）.那时，笔者的兴趣在数论，但当年查遍招生目录，各大学并没有数论专业的助教进修班，于是便报考了华东师范大学的应用数学专业，课程中就有矩阵论.临行之前，笔者特意拜访了哈师大的贾广聚副教授，询问关于矩阵论这门课程读点什么书好，他推荐给笔者的就是这部甘特马赫尔二卷本的《矩阵论》.但到了华东师大后，矩阵论这门课用的并不是这个教程，而是李乔著的《矩阵论八讲》（为什么不是七讲，九讲而偏偏是八讲？笔者猜测可能与华先生早年（1938~1939）在西南联大理学院算学系教师报告会上讲过“域论八讲”的讲稿有关.华先生曾在科大任教，有传统），由当时的系主任陈志杰主讲.华东师大当时是中国代数学的“重镇”，由曹锡华先生领军，汇集了肖刚、沈光宇、时剑益、王建磐等诸多干将.一时间在代数群、李代数、代数几何等方向令全国数学界瞩目.据说前国家主席江泽民曾到代数教研室参观过.李乔也是上海数学家，是上海交大的，可能是上海人喜欢用上海人写的课本，所以就选用了这本教材.但说实话它不太适合，因为它写得太简洁，书很薄，对于初学者要补充的东西太多.而这一点，前苏联的教材就很好，它很细，只要你有耐心逐行读下去一定会懂，而且它是自恰的、完备的，该用到的东西在书中都有所交待而不是简单加上一个注，让你再参见××书.
矩阵论在改革开放后的大学数学系中多以选修课的形式出现.开设较早的是1982年，李乔先生为中国科学技术大学数学系四年级开设的，它脱胎于1982年春，美国的R.A.Brualdi教授在Wisconsin大学数学系开设的同名课程.因为李乔先生曾听过R.A.Brualdi教授的课,所以从内容到风格都深受其影响.当时中国已经从20世纪五六十年代全面学习苏联改成了全面向美看齐，所以“欧风美雨”吹遍大学校园.其实李乔先生的教本较本书就内容来说有两大优势：一是它强调了从近代发展情况来看的“基本性”.所以它短，只有140页；另一方面又注意到文献上的“分散性”.所以它新，它包含了Van der Waerden猜想的证明.这两大优势是本书所无法比拟的.
再回到对本书的回忆中.大约在2006年在青岛举办的全国大学图书订货会上，笔者看到了高教出版社在大量再版早期的俄罗斯数学经典著作，包括菲赫金格尔茨的《数学分析教程》.于是笔者觉得利用哈尔滨与俄相邻的地缘优势及俄语人才聚集的人才优势，大力开展俄罗斯数学图书翻译是一项比较具有优势的决策，而这一想法也得到了出版社领导的认同.于是2007年秋，借参加莫斯科国际书展之际，笔者到了莫斯科，大力搜罗俄文版数学名著，数量之多仅超载罚款便是一笔不小的费用（俄罗斯以罚款闻名），光是国立莫斯科技术学院全套的数学教程精装本就达几十卷.但回到国内却发现问题来了，国内的翻译力量根本无法满足要求，俄语好的不懂数学，数学好的不懂俄语，数学、俄语都好的大都“廉颇老矣”，一年译不出一本.所以无奈之下又回到20世纪五六十年代已经出版过的经典上，开始在高教社的疏漏中寻找.我们最开始锁定的是那汤松的《实变函数论》.但在筹备中发现高教社又一次领先了，遂放弃.经与郭梦书博士讨论最后确定本书，于是马上开始购买版权和联系译者.在中华版权代理中心杨冰皓经理的大力协助下，终于找到了甘特马赫尔之子（版权的拥有者），他也是一位科学家，不过不是纯数学家，而且本书也出了新版.当我们买到版权后，马上拜访了柯召院士之女柯孚久教授，她欣然同意出版这部作品.接下来还要找一位来译新版中增加的部分，最后确定了“身残志坚”的郑元禄先生，经过近一年的努力，终于大功告成.
许多读者看书先看编辑手记，所以有必要先介绍点矩阵论的历史.矩阵的理论起源可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪.高斯，艾森斯坦先后于1801年和1844~1852年把一个线性变换的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示.艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作孕育了矩阵的思想.
矩阵这个词是西尔维斯特于1850年首先使用的，矩阵的概念直接从行列式的概念而来，它作为表达一个线性方程组的简单记法而出现.脱离线性变换和行列式，对矩阵本身作专门研究，开始于英国数学家凯莱.1855年以后，凯莱发表了一系列研究矩阵理论的文章.他引进了关于矩阵的一些定义.在1858年所发表的文章中，凯莱证明了一个重要结果：任何方阵都满足它的特征方程.这个结果现称为凯莱-哈密顿定理.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵论的创始人.本书译者之一的柯召院士与其合作者李宗华合写的“哈密顿-凯莱定理的进一步推广”中所得到的结果就被写入了R·贝尔曼（Bellman， 1920—1984）的著名教科书《矩阵分析导引》中（可惜李宗华英年早逝，1949年死于肾病，年仅38岁）.
法国数学家埃尔米特，德国数学家克莱布什等研究了一些特殊矩阵的特征根的性质.德国数学家弗罗贝尼乌斯对矩阵理论做了进一步的工作，他探求矩阵的最小多项式，并指出最小多项式是唯一的（后来亨泽尔证明了这个结论）；引进矩阵秩的概念；整理了由西尔维斯特和魏尔斯特拉斯提出的不变因子和初等因子的理论；给出凯莱-哈密顿定理的一般性证明；定义了正交矩阵并研究其性质.约当利用相似矩阵和特征方程的概念证明了矩阵经过变换可相似于一个“标准型”，即现在所谓的约当标准型.在约当工作的基础上，弗罗贝尼乌斯讨论了合同矩阵与合同变换.弗罗贝尼乌斯关于矩阵理论的工作于1877年发表在《克雷尔杂志》上.至此，矩阵论的经典内容已建立起来.
1892年，美国数学家梅勒茨引进矩阵的超越函数的概念，并把它写成矩阵的幂级数的形式.凯莱把超复数视为矩阵的思想在19世纪末20世纪初得到发展，与此相关形成矩阵不变量的理论.20世纪初，由于积分方程的发展开始了对无穷矩阵的研究，由于近代物理的需要还开展了元素属于抽象域的矩阵的工作，矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵等矩阵的现代理论也逐步发展起来.17世纪90年代，关于无穷维矩阵的研究直接导致了泛函分析的产生.现在，矩阵及其理论已广泛应用到现代科技的各个领域中，甚至在经济学和社会科学中都有应用，比如由Leontief所引进的Leontief矩阵和特征分析就被用于研究工业部门间的相互关系以及多种市场和国际贸易的稳定性（见A·R·高尔腊伊，G·A·瓦特桑著，唐焕文等译的《矩阵特征问题的计算方法》上海科学技术出版社，1980）.其实在早期天体力学中，久期运动的微扰问题就涉及到矩阵的特征值问题.
这部著作的出版已是数学工作室的第250号作品了.本来笔者初始的构想是出到100号就该退休了，怎奈中国式大干快上没几年就到了200号开外，退休还有10年.于丹在接受《人物》访问时，被问到：“这些年你在思考什么？”她说（当然国内外对她评价不一，但下面的回答，笔者深以为然）：“这几年，我屡屡想起老子的话，老子说过一句话，叫‘企者不立，跨者不行’.企是什么？企就是踮着脚尖想要图谋一些东西，意思是一个人要老是踮着脚尖，伸长脖子够什么就站不稳；跨者不行，人越是跨大步，越走得慢”（《人物》2012.12，P.92-93）.
数学工作室在新的一年里要将步伐慢下来，想清楚发展方向，多出精品树立品牌.用一位出版人的话说：既要有“管身常欠读书债，禄来不供沽酒资”的夫子情怀，也要有“无财作力，少有斗智，既饶争时，此其大经”的商贾思维.从做大做强思维转变到做精做强.钱穆先生说：“能存在记忆中方能存在生命之中.”能让人记得住才是真正重要的，内容提供商永远是出版人的王道.长时间存留在人们记忆中的唯有经历时间淘汰的精品名著，其收益也同样会是巨大的.
吕不韦有言：“劳作立身，其利十倍；珠玉无价，其利百倍；谋国之利，万世不竭.”将谋国换成谋精品是再恰当不过的.
刘培杰
2013年1月4日
于哈工大